1637年，费尔马在巴黎买了一本古希腊数学家丢番都的著作《算术》的拉丁文译本。他在这本书第2卷的“将一个平方数分为两个平方数”旁边的空白处写了一段话：“将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的。关于这个结论，我确信已经发现了一种美妙的证明方法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”
当然，这段话是费尔马死后，人们为编辑、整理他的论述而查阅他的书籍时发现的。
但是，谁也没有见到过这个“美妙的证明”。费尔马的儿子整理了他的全部遗稿和书信，都没有找到那个“美妙的证明”。
后人把费尔马写在书页空白处的那个结论叫做“费尔马猜想”或“费尔马问题”，但更普遍的是称之为“费尔马大定理”。用数学术语表达费尔马大定理就是：“当n是大于2的整数时，方程xn＋yn＝zn没有非零的整数解。”
费尔马大定理的证明激起了许许多多数学家的兴趣，高斯（“数学王子”）和欧拉（18世纪最优秀的数学家）都为证明它而花费了巨大的精力，但都没有解决。人们惊呼：费尔马大定理的证明实在太难了！它简直是在向人类的智慧挑战！
为了鼓励人们解决这道难题，许多国家的科学院曾设立多种奖金。17世纪末，德国一个城市的科学家和市民募捐了10万金马克，准备奖给解决这个难题的人，但没有得到结果；19世纪中，法国科学院两次设立3千法郎奖金，也没有得到结果；1908年，德国哥廷根科学院设立奖金10万马克，限期100年，向全世界征求费尔马大定理的证明，到现在为止，仍然没有看到完全的证明！
300多年来，一代一代数学家为了显示人类的智慧，揭示难题背后的数学真理，不断地创造新颖的数学方法，无意中创立和发展了新的数学分支，推动了整个数学的发展，这个意义远远超过了解决这个难题的本身。
1900年8月6日，第2届国际数学家大会在巴黎开幕了。8月9日，德国大数学家希尔伯特向到会的200多名数学家，也是向国际数学界提出了23个问题，这些问题当然都是非常非常难的，是新世纪里数学家们应当解决的。人们奇怪地问希尔伯特，为什么不把费尔马大定理列入这23个问题中去？希尔伯特意味深长地说：“如果我能解决这个问题，我将回避而故意不解决，这是因为我们应当更加注意，不要杀掉这只经常为我们生出金蛋的母鸡。”
希尔伯特把费尔马大定理比作“经常为我们生出金蛋的母鸡”，说明追求一个难题的解决，往往会使人们闯入新的领域里去。例如，德国数学家库麦尔（1810～1893）在研究费尔马大定理的过程中，创立了重要的数学概念——理想数，同时开创了一门崭新的数学分支——代数数论（1884），在现代数学中，代数数论仍然是十分活跃的领域，因为数学家们认为，库麦尔因此而创立的代数数论比费尔马大定理本身还重要得多！
“光阴似箭，日月如梭”，转眼就到了20世纪90年代，证明费尔马大定理的工作也不断取得进展。“说时迟，那时快”，历史的指针指向了公元1993年，距离德国哥廷根科学院1908年悬赏10万马克征求费尔马大定理的证明的100年有效期限，只有短短的14年了！这时，在向费尔马大定理进军的征途中，传出了震惊世界的消息：1993年6月23日，在英国剑桥大学举行的一次小型数学学术会议上，四十多岁的威尔斯（A.Wiles）博士在连续3天的学术报告结束时宣布：他已证明了费尔马大定理！几小时内，费尔马大定理获得证明的消息传遍四方，震惊了国际学术界。
威尔斯出生于英国牛津，小时候听说过“一只会下金蛋的母鸡”故事后，就对费尔马大定理着了迷，立志征服这座无人登顶的数学王国的高峰。就是这条奇妙的定理将他引入数学的殿堂，他选择“数学”作为他的职业。儿时的梦想，虽然带有绚丽的光环，但是，对于已成为数学家的威尔斯博士来说，却是一个耀眼的灯塔，他拟订了一套切实可行的研究方案来实现他童年的梦想——证明费尔马大定理。不过，所有这些研究工作都是极其秘密地进行的，就是在他宣布证明了费尔马大定理的学术会上，人们开始也未能察觉到他报告的最终目标。
威尔斯的工作公布后，很快受到了国际上一些最著名的数学家的喝彩，大多数人认为威尔斯是一位严肃的数学家，他的证明基础是可靠的。
人们正翘首期盼着欢呼费尔马大定理获得证明的最后时刻的到来！
但是，1993年12月4日，威尔斯教授宣布，他于6月对费尔马大定理的证明中“有漏洞”。所以，费尔马大定理仍在证明中！（见《中国数学会通讯》1994年第二期）读者同学，你看了这个故事，有什么想法呢？
让我们听听数学大师希尔伯特的一番话：“正如人类的每项事业都追求确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志和力量，发展新方法和新观点，达到更广阔和自由的境界。”
我们了解一些数学问题的历史和意义，可以提高对数学的认识，可以激励自己像前人那样顽强学习，为人类进步事业作出贡献。
蜜蜂问题
在美国数学界广泛流传着一个解蜜蜂问题的故事。
据说，在一次鸡尾酒会上，许多数学家聚集一堂，欢声笑语，洋溢着轻松愉快的气氛。著名的数学大师、“电子计算机之父”冯·诺依曼端着酒杯，和同行们说说笑笑。一位客人看到冯·诺依曼有时流露出心不在焉、若有所思的样子，知道这是科学家的“职业病”：搞惯了科学研究，做惯了思维“体操”，头脑里不想点问题便好像丢了什么东西似的。于是，他想出了一个问题。
“你好，冯·诺依曼先后，想做游戏吗？”
“游戏？”他指了指头脑，说：“它正想活动活动，做做思维游戏呢！”
“我这里有一个蜜蜂问题。两列火车相距100英里，在同一轨道上相向行驶，速度都是每小时50英里。火车A的前端有1只蜜蜂以每小时100英里的速度飞向火车B，遇到火车B以后，立即回头以同样的速度飞向火车A，遇到火车A以后，又回头飞向火车B，速度始终保持不变，如此下去，直到两列火车相遇时才停止。假设蜜蜂回头转身的时间忽略不计，那么，这只蜜蜂（冯·诺依曼插话：好一只超级蜜蜂！）一共飞了多少英里的路？”
冯·诺依曼，这位20世纪最杰出的数学家，心算能力极强，不用笔和纸就能熟练自如地进行计算。据说，他6岁就能心算8位数的除法，十来岁时就掌握了微积分，中学时在匈牙利数学竞赛中名列第一。他的老师、著名的数学家、教育家波利亚回忆说：“约翰（冯·诺依曼的名字）是我惟一感到害怕的学生，如果我在讲演中列出一道难题，那么当我讲演结束时，他总会手拿一张潦草写成的纸片，说他已把难题解出来了。”
这时，把解答有趣的数学题作为一种积极的休息，作为参加一种游戏，冯·诺依曼没有用简单的算术方法，而是别出心裁地采用了高等数学中一个巧妙的解法，很快地解出了这个问题。
如果你直接从蜜蜂往返飞行的路程去求解，那就很复杂了；而间接用蜜蜂飞行的时间来求解，那非常简单。
因为两列火车相距100英里，以每小时50英里的速度相向而行，所以，它们相遇时所经过的时间是1小时。而蜜蜂在这一段时间内，不停地在两列火车之前往返飞行，蜜蜂飞行的全部时间正好是两列火车相遇的时间。所以，蜜蜂在这1小时内，正好飞行了100英里。
有趣的是，我国著名数学大师苏步青教授，在一次出国访问时，脱口而出地解出了一位外国数学家提出的和“蜜蜂问题”类似的“猎狗问题”：
猎人甲带着他的猎狗到120公里外的猎人乙家去作客。当甲出发时，乙也正好走出家门去迎接甲。甲每小时走10公里，乙每小时走20公里，猎狗每小时走30公里。当猎狗先与乙相遇后，又返回来迎接甲，与甲相遇后，再转身去迎接乙。这样，猎狗就在甲、乙之间往返奔跑。问：当甲、乙相遇时，猎狗一共跑了多少公里路？
因为猎狗往返奔跑的全部时间，正好是猎人甲、乙相遇的时间：
120÷（10＋20）＝4（小时），
所以，猎狗一共跑的路程是
30×4＝120（公里）。
数字“冰雹”
让我们先来做一个游戏：
你随便取一个自然数，如果它是偶数，就用2去除它；如果它是奇数，将它乘3之后再加1，这样反复运算，你会发现，最终必然是1。
比如，取自然数N＝6。6是偶数，要先用2除，6÷2＝3；3是奇数，要将它乘3之后再加1，3×3＋1＝10；按照上述法则继续往下做：10÷2＝5，5×3＋1=16，16÷2＝8，8÷2＝4，4÷2＝2，2÷2＝1。从6开始经历了3→10→5→16→8→4→2→1，最后得1。
用一个大一点的数运算，结果还是这样吗？
取自然数N＝16384。你会发现这个数连续用2除了14次，最后还是得1。
上面用的两个数都是偶数，奇数是不是这样的呢？
取自然数N＝19。按照上面的法则来算，可以得到下面一串数字：
19→58→29→88→44→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1。
经过20步，最终也变为最小的自然数1。
这个有趣的现象引起了许多数学爱好者的兴趣。一位美国数学家说：“有一个时期，在美国的大学里，它几乎成了最热门的话题。数学系和计算机系的大学生，差不多人人都在研究它。”人们通过大量演算发现最后结果总是得1。于是，数学家便提出如下一个猜想：
对于任一个自然数N，如果N是偶数，就把它变成N2；如果N是奇数，就把它变成3N+1。按照这个法则运算下去，最终必然得1。