偶然的发现
有一次，国王让工匠制造了一顶金王冠，但是，他总是怀疑金匠偷了金子，在王冠中掺了银。于是，他请来阿基米德鉴定，条件是不许弄坏王冠。
当时，人们并不知道不同的物质有不同的比重，阿基米德冥思苦想了好多天，也没有好的办法。
有一天，他去洗澡，刚躺进盛满温水的浴盆时，水便漫溢出来，而他则感到自己的身体在微微上浮。于是他忽然想到，相同重量的物体，由于体积的不同，排出的水量也不同——
他不再洗澡，从浴盆中跳出来，一丝不挂地从大街上跑回家。
当他的仆人气喘吁吁地追回家时，阿基米德已经在做实验。他把王冠放到盛满水的盆中，量出溢出的水，又把同样重量的纯金放到盛满水的盆中，但溢出的水比刚才溢出的少，于是，他得出金匠在王冠中掺了银子的结论。
由此，他发现了浮力原理，并在名著《论浮体》中记载了这个原理，人们今天称之为阿基米德原理。
海边的阿基米德
11岁那年，阿基米德离开了父母，到了古希腊最大的城市之一的亚历山大里亚求学。
当时的书是订在一张张的羊皮上的，也有用莎草茎剖成薄片压平后当做纸，订成后粘成一大张再卷在圆木棍上。阿基米德没有纸笔，就把书本上学到的定理和公式，一点一点地牢记在脑子里。
阿基米德攻读的是数学，需要画图形、推导公式、进行演算。没有纸，就用小树枝当笔，把大地当纸，因为地面太硬，写上去的字迹看不清楚。阿基米德苦想了几天，又发明了一种“纸”，他把炉灰扒出来，均匀地铺在地面上，然后在上面演算。可是有时天公不作美，风一刮，这种“纸”就飞了。
一天，阿基米德来到海滨散步，他一边走一边思考着数学问题。无边无垠的沙滩，细密而柔软的沙粒平平整整地铺展在脚下，又伸向远方。
他习惯地蹲下来，顺手捡起一个贝壳，便在沙滩上演算起来，又好又便捷。
回到住地，阿基米德十分兴奋地告诉他的朋友们说：“沙滩，我发现沙滩是最好的学习地方，它是那么广阔，又是那么安静，你的思想可以飞翔到很远的地方，就像是飞翔在海面上的海鸥一样。”
从那以后，阿基米德喜欢在海滩上思考和学习，这个习惯从求学的少年时代一直保持到生命的最后一息。当时，阿基米德正在沙滩上聚精会神地演算数学，对于敌军的入侵竟丝毫未觉察。
当罗马士兵拔出剑来要杀他的时候，阿基米德安静地说：“给我留下一些时间，让我把这道还没有解答完的题做完，免得将来给世界留下一道尚未证完的难题。”
保卫家乡
公元前213年，罗马军队进攻阿基米德的家乡叙拉古。当时的阿基米德已经75岁高龄了，但他仍竭尽所能保卫自己的家园。
罗马军队统帅玛尔凯路率领舰队，从海上进攻叙拉古。阿基米德此时已做好了充分的准备，当敌人的舰队接近时，阿基米德就开动早已准备好的远程投射机器，将大石块投射到1000米以外。大石块如冰雹般打在敌人的战舰上，使船沉兵死。玛尔凯路无奈，只得暂时撤军。
玛尔凯路又决定夜间进攻，他以为阿基米德夜间看不清，等舰队攻到城下，他的那些远程投射机器就用不上了。
可是出乎玛尔凯路的意料，当罗马军队夜间进攻时，阿基米德又开动了短程投射机器，什么短标枪、石块等武器不断被掷出，打得罗马军队落荒而逃。
罗马军队不甘心失败，他们一次次展开进攻，阿基米德顽强地坚守城池。有时，罗马人把带有攻城机的战舰开到叙拉古城下，阿基米德就把一种挂着“长嘴”的机器开动起来，一块块石头从“长嘴”里倾落下来，把战舰砸得稀巴烂；有时，阿基米德还从城上放下一种铁钩，它能钩住船头，将船拉起来，使船向一边翻倒。
玛尔凯路的各种进攻都被阿基米德的发明一一击败，他只好采取围城的办法。
罗马军队一直围困了8个月，最后趁叙拉古人欢度节日而疏于防范之际，攻陷了叙拉古。