罗素悖论震撼了世界数学界，导致了一场涉及数学基础的危机。人们已经发现，在数学这座辉煌大厦的基础部分，存在着一条巨大的裂缝，如不加以修补，整座大厦随时都有倒塌的危险。
数学家们勇敢地接受了挑战。他们认真考察了产生罗素悖论的原因。原来，之所以出现罗素悖论这样的怪物，是由于在集合论中，“集合的集合”这句话不能随便说。于是，数学家们开始探索数学结论在什么情况下才具有真理性，数学推理在什么情况下才是有效的……，从而产生了一门新的数学分支——数学基础论。
在这个领域里，由于数学家的观点不同，产生了3个著名的学派。以罗素为主要代表的数学家叫逻辑主义学派，他们认为，只要不允许使用“集合的集合”这种非逻辑语言，罗素悖论就不会发生；以布劳威尔为主要代表的数学家叫直觉主义学派，他们认为，“集合的集合”是不能用直觉理解的，不承认它的合理性，罗素悖论自然也就不会产生了；以希尔伯特为主要代表的数学家叫形式主义学派，他们认为，悖论是一种不相容的表现。
三大学派都提出了修补数学基础的方案，由于各执己见，爆发了一场大论战。这场大论战对现代数学发展影响深远，还导致了许多新的数学分支的诞生。
现在，修补数学基础的工作尚未取得令人完全满意的结果，数学家们仍在顽强拼搏。
牛皮上的城堡
你知道古代城市卡发汗吗？它就是在一张牛皮所占有的土地上建立的城市。
传说基尔王的公主蒂顿娜的丈夫被她的兄弟杀死，她逃到非洲。她在奴米地国王那里用了很少的钱买了“一张牛皮所能占有的”土地。这项交易签约后，蒂顿娜把牛皮割成非常细的牛皮条，围成很大的一片土地，足以建成一座城堡。后来扩建成卡发汗。
根据这个传说，假想蒂顿娜割成牛皮条宽1毫米，而一张牛皮的面积有4平方米，那么她围成的土地最大面积能是多少？面积为4平方米的牛皮、合4百万平方毫米，若把它螺旋式地切割成完全可连续的一条牛皮条，也就是4000米即4公里。这样长的牛皮条可以围出一平方公里的正方形土地。若围成圆形土地，面积可达1.3平方公里，其大小相当于三个梵蒂冈。你想，卡发汗市建立的传说还真有点可靠性呢。
康托尔与集合论
集合论的创立者格奥尔格·康托尔，1845年3月3日出生于俄国彼得堡（现为苏联列宁格勒）一个商人家庭。他在中学时期就对数学感兴趣。1862年，他到苏黎世上大学，1863年转入柏林大学。当时柏林大学正在形成一个数学与研究的中心。他在1867年的博士论文中已经反映出“离经叛道”的观点，他认为在数学中提问的艺术比起解法更为重要。的确，他的成绩并不总是在于解决问题，他对数数的独特贡献在于他以特殊提问的方式开辟了广阔的研究领域。他所提出的问题一部分被他自己解决，一部分被他的后继者解决，一些没有解决的问题则始终支配着某一个方向的发展，例如著名的连续统假设。
1869年康托尔取得在哈勒大学任教的资格，不仅就升为副教授，并在1879年升为教授。他一直到去世都在哈勒大学工作。他曾希望去柏林找一个薪金较高、声望更大的教授职位，但是在柏林，那位很有势力而且又专横跋扈的克洛耐克（L·Kronecker，1823—1891年）对于他的集合论，特别是他的“超穷数”的观点持根本否定的态度。因此，处处跟他为难，堵塞了他所有的道路。由于用脑过度和精神紧张，从1884年起，他不时犯深度精神抑郁症，常常住在疗养院里。1918年1月6日他在哈勒大学附近精神病院中去世。
集合论的诞生可以说是在1873年年底。1873年11月，他在和戴德金的通信中提出了一个问题，这个问题使他从以前关于数学分析的研究转到了一个新方向。他认为，有理数的集合是可以“数”的，也就是可以和自然数的集合一对一的对应。但是，他不知道，对于实数集合这种一对一的对应是否能办到。他相信不能有一对一的对应，但是他“讲不出什么理由”。不久之后，他承认“没有认真地考虑这个问题，因为它似乎没有什么价值”。接着他又补充一句，“要是你认为它因此不值得再花费力气，那我就会完全赞同。”可是，康托尔又考虑起集合的映射问题来。很快，他在1873年12月7日又写信给戴德金，说他已能成功地证明实数的“集体”是不可数的了。这一天可以看成是集合论的诞生日。戴德金祝贺康托尔取得成功。
集合论的发展道路是很不平坦的。康托尔的集合论是数学上最具有革命性的理论。
客满的旅馆还能住进一位客人
有一个市镇，只有一家旅馆，这个旅馆与通常旅馆没有不同，只是房间数不是有限而是无穷多间，房间号码为1，2，3，4，……我们不妨管它叫希尔伯特旅馆。
有一天开大会，所有房间都住满了，后来来了一位客人，一定要住下来。旅馆老板于是引用“旅馆公理”说：“满了就是满了，非常对不起！”正好这时候，聪明的旅馆老板女儿来了，她看见客人和她爸爸都很着急，就说：“这好办，请每位顾客都搬一下，从这间房搬到下一间”。于是1号房间的客人搬到2号房间，2号房间的客人搬到3号房间……依此类推。最后1号房间空出来，请这位迟到的客人住下了。
第二天，又来了一个庞大的代表团要求住旅馆，他们声称有可数无穷多位代表一定要住，这又把旅馆老板难住了。老板的女儿再一次来解围，她说：“您让1号房间客人搬到2号，2号房间客人搬到4号，…，K号房间客人搬到2K号，…，这样，1号，3号，5号，…房间就都空出来了，代表团的代表都能住下了。”
这一天，这个代表团每位代表又出新花招，他们想每个人占可数无穷多间房安排他们的亲朋好友，这回连老板的女儿也被难住了。聪明的女儿想了很久，终于想出了办法。她把第一个客人的第一间房记做（1，1），第二间房记做（1，2），第K间房记作（1，K）…，第二个客人的第一间房记作（2，1），第二间房记做（2，2），…，这样就有一串两个号码的房间。现在把它按1，2，3，4，…排好，按箭头的顺序排号：（1，1）住1号，（1，2）住2号，（2，1）住3号，（3，1）住4号，（2，2）住5号，…问题不就又解决了吗！
这个故事说明了无穷集合和有限集合的一个特点，即有限集合不能通过单映射映射到自己的真子集合，而无穷集合可以通过单映射映射到自己的真子集合。（单映射是指，设F是集合A到集合B的映射，对B中的一个象，它在A中只有唯一元素作为原象，就称F是单映射。）“换一根短的杠杆” 。
据传说，在阿基米德晚年，他的家乡叙拉古城被强大的罗马帝国围困，在保卫城墙的战斗中，阿基米德充分动用了他的智慧和才能，发明许多特种武器，给敌人以沉重的打击，使得久攻不下的罗马军队只得弃强攻为封锁，后来，叙拉古城由于矢尽粮绝，才被罗马军队占领。
在保卫古城堡的最后一天，阿基米德看到城堡的一角，几名将士正用一根既沉重又长的杠杆在运一块大石，准备消灭入侵之敌。他好像突然想起什么似的猛然站起来高声喊到：“不要那么长的杠杆，换一根短的。”将士们惊呆了，用短杠杆怎么行？你老人家发明的杠杆原理不是要加长动力臂才省力吗？
遗憾的是由于城堡被敌人攻破，阿基米德没来得及回答将士们的问题，就被罗马士兵杀害了。
这个传说是否真实，我们不必来考证，但是，我们关心的是为什么阿基米德突然想到要换一根短杠杆呢？只要我们细心一想，就会发现这位古代科学家所提问题的道理，诚然加长动力臂能省力，但是随着杠杆长度的增加，人们的无用消耗也将增加。那么，究竟采用多长的杠杆才最省力呢？
不妨假设杠杆的支点、力点分为A、B，在距支点0.5米处的点挂重物490公斤，已知杠杆本身每米长重40公斤，求最省力的杠杆长？
显然，我们可以得这样一个关系式：
FX=40X·X2+490×0.5可转化以自变量X的二次方程：20X2-FX+245=0于是利用判别式法求出F的极值，即：
Δ=F2-40×20×245≥0即F≥140故当F=140公斤时，X=3.5米由此可知，最省力的杠杆长为3.5米，此时人们只用140公斤力就可移动490公斤重的物体，事实上，当杠杆比3.5米长了或短了时，所用的力都要大。例如取4米时，F=141.25公斤，显然用力大于140公斤。现在我们已说明了“阿基米德为什么说：‘不要用那么长的杠杆，换一根短的’？”的道理。
不假则真，不真则假
从前有个残酷的国王，企图杀死他的一个大臣，他对大臣说：“我已写好两个字阄，一个是“杀”字，另一个是“赦”字，你抓一个吧，我将按你抓的结果处置你。聪明的大臣猜出国王的两个字阄中写的都是“杀”字，面临杀身之祸，他没有惊慌，瞬间想出了一个巧妙的方法。他一面恭敬地对国王说：“臣遵命”，一面抓起一个字阄立即吞下去，然后请国王打开另一个字阄。当然剩下的字阄一定是“杀”字阄。大臣就说：“陛下，既然剩下的是‘杀’
字，那么我抓着的当然是‘赦’字了。”面对这个严密的推理，国王无话可讲了，聪明的大臣终于用智慧保住了自己的生命。
这种“不是真必为假”或“不是假必为真”的推理方法，是逻辑推理中最基本最常用的一种。
“不真必假，不假必真”的道理尽管简单，但在数学中运用十分广泛。