书城科普读物古代数学与物理学
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第10章 祖冲之与祖

祖冲之,字文远,祖籍范阳郡道县(今河北省涞水县北)人,生于(429)南朝宋,祖冲之卒于(500)南朝齐,25岁入华林学省从事学术研究。32岁才做了南徐州(今镇江)刺史(相当于州长)刘子鸾手下的一个小官——从事吏。后来刘子鸾任刘宋司徒,祖冲之则在他司徒府里兼任了公府参军。

祖冲之博学多才,在天文历法、数学、器械设计和制造以及历史、文学等方面都有出色的贡献,其中尤以天文学和数学成就最为杰出。在天文历法方面,祖冲之创制了《大明历》,把岁差引进历法,在中国历法史上做出了一项重大改革。他还采用了391年加144个闰月的精密的新闰周,突破沿袭很久的19年7闰的传统方法,是天文历法史上的一个重大的进步。祖冲之的制历工作得到了他儿子祖暅的帮助。祖冲之死后,祖暅三次向梁武帝建议颁行《大明历》。

祖冲之父子的数学成就十分丰富,《缀术》是他们的代表作,唐初被列入“算经十书”之一。据史书零星记载,《缀术》内容十分精妙,“学官莫能究其深奥”。唐朝的算学学生学“算经十书”的时候,花在《缀术》上的时间最多。朝鲜、日本等国也将它用做算学课本。可惜包括《缀术》在内的祖冲之父子的重要文献都已失传,现在所知的祖冲之父子的数学成就都是在旁的著作中留下的记载,其中主要是圆周率、球体积和开带从立方等三个方面。

圆周率计算

现在,圆周率的计算已不是数学上的大问题,但在15世纪以前,圆周率的精度曾作为各时代的数学水平的度量。由于祖冲之的这一方面的工作,使中国数学在这个领域内遥遥领先达1000年之久。

在圆周率的近似值计算方面,原先古希腊是一直走在中国前面的。公元前5世纪,当古希腊数学家阿利亚布哈塔曾算得圆周率3.1416时,我国还停留在“古率”π=3上,而且一直被沿用至汉代。入汉以后,圆周率的计算才为较多数学家所注意,先是刘歆(?~23)算得3.1547或3.166,有效数学为3.1.后来,东汉天文学家张衡(78~139)又用10和9229作圆周率,虽然数字简明但精度仍不高。张衡之后,蔡邕(公元133~192年)、王蕃(219~257)也由于天文研究的需要,计算了π,但有效数字仍只二位。

中国数学史上第一个给圆周率的计算打下坚实基础的是刘徽,而在这个基础上建造大厦的巨匠就是祖冲之。祖冲之运用刘徽的先驱性工作,对圆周率进行了更加细密深入的计算,他不仅使中国取得了圆周率计算的世界领先地位,而且揭开了中国数学史上大放异彩的一页。

祖冲之首先利用刘徽的方法,通过计算圆内接正1536边形的面积算出圆周率3.1416,用分数表示为39271250,这在当时已经是够出色的了,但祖冲之并不满足,他“更开密法”,进一步提出:

3.1415926<π<3.1415927

且不说祖冲之一下子把圆周率的精度提高了万倍,仅就他用“盈二限”的方法给出了一个无理数值的变化范围就十分了不起了,这种方法除了古希腊最大数学家阿基米德曾用过外,用得最出色的就要数祖冲之了,它是现代关于无理数表示的一个基本方法。

由于中国古代惯于用分数表示数值,因此祖冲之又在上述圆周率的基础上,得出了二个圆周率的分数值:227和355113,前者称为约率,后者称为密率。欧洲通常称圆周率的分数值355113,为安托尼斯(1527~1607)率,这是为纪念荷兰工程师安托尼斯于1585年左右得到这个值而命名的。其实,在欧洲,它的更早的发现者是德国的奥托(1550?~1605),他在1573年已经发现了π的这个数值,但是比起祖冲之来,这两人却要晚出十一个世纪之久。

祖冲之的密率是π的一个很好的分数近似值,如以它来计算半径为10公里的圆面积,其误差不会超过几个平方毫米,有人证明,在所有分母小于16604的分数中,355113是最接近π的一个分数,比它更精确的分数将是5216316604.可见,355113不仅精确度高,而且简单。1,3,5三个数字各出现二次(113355),对半后排列于分数线上下,可谓美矣。

1913年,日本著名数学史家三上义夫建议称祖冲之的密率为“π的祖冲之分数值”,后来又改称“祖率”,以表彰祖冲之的功绩,这一创议很快得到人们的赞同。

球体积计算

自从刘徽得出V球=π4V牟之后,一直没有人算出牟合方盖的体积V牟,所以球体积的计算也一直没有解决。问题最终还是由祖暅解决的。为算出牟合方盖的体积,祖暅深入分析了牟合方盖的八分之一。立方体之内有一块称为外棋的立体,设立方体边长为D2,在OP=Z处过P作立方体的水平截面,截得正方形PQRS和折角矩形QRST。其中正方形外棋立体PQRS的面积是牟合方盖的一个水平剖面的面积的四分之一,由勾股定理得PS2=PQ2=(D2)2-Z2,而在同一位置上折角矩形QRST的面积是(D2)2-[(D2)2-Z2]=Z2.这说明外棋有这样性质:在高度为Z处的截面面积正好等于Z2.这个性质也是倒置的正方锥体所具有的。倒置的正方锥体这就是说,外棋与底面积为(D2)2的倒置正方锥在等高处的截面面积相等。于是,根据刘祖原理,外棋的体积与底面为(D2)2正方锥体积相等,即V外=13(D2)2·D2=D324,将以D2为边长的正方体体积减去外棋的体积,就是八分之一牟合方盖的体积,即18V牟=(D2)3-D324=D312

所以V牟=2D33

于是,V球=π4×V牟=π4(23D3)=π6D3

这就是球体体积的正确公式。当时祖氏父子取π=227入算,所以公式记为V球=1121D3开带从立方

所谓开带从立方是指求方程x3 px q=m数值解的一种方法。中国数学称求x3=N的数值解的方法为开立方,由于在x3之后跟了一个一次项即所谓的“从法”,所以解这种方程就叫做“开带从立方”。《隋书·历律志》在叙述了祖冲之的圆周率之后,说他“又设开差幂,开差立、兼以正负参之。指要精密算氏之最者也。”其中开差幂指开带从平方法,开差立则指开带从立方法。《隋书·历律志》虽未记有祖冲之所创方法的具体内容,但它对这一方法的评论却是明确的:“指要精密、算氏之最者也。”而且在求根过程中考虑到了正负数的问题。遗憾的是,如此精彩的内容却失传了。