书城科普读物古代数学与物理学
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第18章 年希尧、明安图

年希尧和明安图是当时很有创造性成就的重要的数学家。年希尧(?~1738)今辽宁北镇县人。曾先后在云南、河北、安徽等地做官,对科学十分注意,一生致力于数学和医学研究。数学著作以《视学》2卷为代表作。这可说是中西结合的第一部画法几何。70年后,法国蒙日(1746~1818)给出画法几何理论较为详尽的阐述。在《视学》1729年初版序言中年希尧说:“余曩岁即留心视学,尝任智殚思,究未得其端绪,迨后获与泰西郎学士数相晤对,郎能以西法作中土绘事。”可见《视学》是年希尧吸收了欧洲和透视方法,又经多年悉心钻研,采中西方法之众长而编撰而成的。再版《视学》出于1735年。

《视学》比较系统地介绍了利用透视原理作图的方法。全书画有很精细的图形,大致分为两种,一种是立体图;另一种是平面图。立体图又包括透视图和轴测图。对图的作法书中也讲述得完整、详细,说明作者不仅能画而且在理论上也有一定的建树。

立体图的画法中国古代早已有之,像北宋时《武经总要》中的兵器图、《营造法式》中的建筑图都采取了与现代的斜二测投影图相似的方法。清代梅文鼎对正多面体互容问题的多种论述,也为用轴测图画正多面体提供了具体的方法。梅文鼎在《环中黍尺》中创造的球面三角形图解法更是别具一格。然而,作为系统的画法几何则是年希尧的《视学》。可惜的是,《视学》印数很少,未能在中国发展出一门独立的数学分科。

明安图(?~1763)是我国著名的蒙古族数学家和天文学家。青年时和梅成等人被选入清政府钦天监学习天文历法和数学。此后一直从事天文历法和数学研究。前后参与编撰了《历象考成》、《历象考成后编》以及《仪象考成》等重要天文学著作,并两次赴新疆测绘地图。晚年,总结30余年研究心得草成《割圆密率捷法》,后于1774年由其弟子陈际新整理成书。

18世纪初法国传教士杜德美(1668—1720年)将幂级数传入中国,其中有牛顿所创的π的无穷级数公式:

π=3 3·124·3! 3·12·3242·5! 3·12·32·5243·7! ……(1)

格列哥里所创的正弦和正矢的幂级数展开式:rsinar=a-a33!r2 a55!r4-a77!r6 ……(2)

r Versar=a22!r-a44!r3 a66!r5-……(3)但传入的这些展开式却没有证明,为了证明这些展开式,明安图创立了“割圆连比例方法”,用弧的内接折线去逼近弧长,以几何线段的连比例关系为根据,计算出展开式的各项系数,从而为三角函数展开式的研究开辟了一条新路。

除了证明了由杜德美传入的三个级数之外,明安图自己则又给出了六个展开式及其证明,它们是:

(1)“弧背求通弦”法,即由弧长ACB求弦长的级数展开式:

C=2a-(2a)34·3!r2 (2a)542·5!r4-(2a)743·7!r6 ……(其中r为圆半径,以下同)

(2)“通弦求弧背”法,即由弦长求弧长的级数展形式:

2a=C C34·3!r2 32C542·5!r4 32·52·C743·7!r6 ……

(3)“正弦求弧背”法:

a=rsina (rsina)33!r2 12·32(rsina)55!r4 ……(其中a为a弧的圆心角)

(4)“正矢求弧背”法:

a2=r2r Versa2! 12(2r Versa)24! 12·22(2r Versa)36!r ……

(5)“矢求弧背”法:

(2a)2=r·8h (8h)24·4! 12·22(8h)342·6!r ……(其中h=r Versa为2a弧的中矢)

(6)“弧背求矢”法:

h=(2a)24·2!r-(2a)444·4!r3 (2a)643·6!r5-……

上面级数中出现的各个字母的意义,如下图所示。图1-5-4

进入19世纪以后,明安图的幂级数研究工作得到董诚(1791~1823)、项名达(1789~1850)、戴煦(1805~1860)等人的继续和发展,使三角函数级数展开式成为中国数学后期的一项重要的研究项目。其中项名达的椭圆求长方法以及戴煦的正切、余切、正割、余割展开式最为精彩。戴煦还得出了指数为任何有理数的二项式展开式:

(1 x)p=1 px p(p-1)1·2x2 p(p-1)(p-2)1·2·3x3 ……

利用这个展开式,戴煦获得了造对数表的新方法——对数简法,使中国数学关于对数的研究走上了一个新的台阶。