书城休闲爱好聪明人的游戏
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第14章 时空的问题答案

爱情之旅

这位罗密欧的往返路程为2625公里。

时间观念

要解答这个问题,首先必须掌握回家路程所需要的准确时间。小明上好电池后,就立刻出发到小亮家里去。

在出门之前把时间记牢,假设那时为a,一抵达小亮家之后立刻询问时间,假设为b。接着在离开小亮家之前,再看一次时间,把当时设为c,回家之后立刻确认时间为d,这么一来,d-a就表示小明离家的时间,而c-b表示小明待在小亮家里的时间,两者之间的差(d-a)-(c-b)就表示小明往返的时间。假设来回所花的时间相等,除以2之后再加上c,就可知道小明回家的正确时间。

对时间的良好感觉,有助于我们把握生命。

奔跑的狗

要算狗每次在甲乙之间跑了多少路很麻烦,此题可以采用“直算法”:要计算狗的路程,知道速度,那么还需要时间。时间是多少呢?

狗从甲、乙出发时起,直到两人相遇时止,一直在甲、乙之间奔跑,从未停止过。因此它奔跑的时间,就是甲、乙两人从开始行走到相遇时的时间。这是解答本题的关键。时间知道了,狗跑的路程也就能算出来了。甲、乙两人从开始走到相遇共要100÷(6+4)=10(小时),所以狗跑的总路程是10×10=100(公里)。

这道题甚至可以这么想:反正狗与两个人用的时间一样多,而且速度是两个人之和,那么,两个人共走了多少路程狗就跑了多少路程,两人共走了100公里,那么狗也就跑了100公里。

上与下的瞬间

如果一开始就考虑这个人在上下山途中的速度不同,那么就会认定“不可能”有一个地方是他前后两天同一时间经过的。如果我们采用形象描绘来帮助分析,就会变得很容易:假定有两个人在同一天的一大早,分别从山顶和山脚相向而行,那么他俩在途中一定会在某个地方相遇。而这个地方就是本题所要求的答案。

在解决现实生活的实际问题中,不在细节上纠缠,果断舍弃次要的因素,充分展开思维的空间,是可以直接抓住问题的本质,从模糊中发现清晰的。

两个职员

第13天,前6天乙比甲依次少走6、5、4……1公里,第7天两人走的距离相等,从第8天开始,乙比甲依次多走1、2、3……公里,这样一来,到第13天乙遇上甲。

帆船比赛

第二条船快速航行的时间比慢速航行的时间要短。

即第一条船用时:24÷20=1.2(小时)

第二条船用时:12÷16+12÷24=1.25(小时)

大西洋上

这个问题的解答并不很难。该船起航时遇到的第一艘船是7天7夜前从纽约开出的,而到达纽约时将遇到7天7夜后从纽约开出的轮船。这样,每天一班船。故今天中午开出的轮船,到达纽约时共遇到15艘轮船。

类似的题目,在匈牙利著名作家卡尔曼?米克沙的长篇小说《奇婚配》中也曾出现过。解答这类题用画图的方法比较直观而简捷,很容易看出整个航行中相遇的情况。从勒阿佛尔开出的轮船,在海上航行途中遇到13艘轮船。

此外还遇到两艘,一艘是在它起锚时遇到的(它从纽约开来,正好那天中午到达),另一艘是到达纽约时遇上的(它正要从纽约开出)。所以一共遇到15艘轮船。

解决这个问题时所用的图,叫做“时间-路程图”,又叫“运行图”(图是简化了的运行图)。在人工智能的研究中,用电子计算机编制极其复杂的火车运行图、航空班机时刻表、大学课程表等工作早已取得成功。

奇妙的时空点

我们假设飞行员从圆A上的任何一点出发,圆A离南极116公里,首先他向南飞100公里。然后,他向东飞100公里,实际上是绕极点飞了一圈。这时再往北飞100公里必定回到原出发点。除却北极和圆A上的任意一点。你能想出还有一个出发点吗?

飞行员可以从非常靠近南极的某点出发,当他向东飞行100公里后,他正好绕着极点转了两圈,而在前一个解中只是转了一圈。这样又有了一个圆,圆上任意一点都是问题的解。依此类推,飞行员也可以从一个更小的圆上的任意一点出发使得他向东飞100公里正好是绕南极转了三圈、四圈……可以看出,问题的解即出发点是位于由同心圆组成的无限集合的每个元素上。这些圆的圆心都在南极,其半径的极限近似于零。

如有必要,我们的头脑可以虚构一个宇宙,相对论便是出自这样的头脑。

圣彼得堡的飞艇

飞艇降落在圣彼得堡的东边。因为地球是球形,越向北经线越接近。飞艇从圣彼得堡向北飞500公里,向东飞500公里,向南飞500公里,再向西飞500公里。最后降落在圣彼得堡的东边,离列宁格勒约77公里的地方。

飞艇飞行与步行的性质不同,因为步行的距离短,不受经度线的影响。

七桥问题

这道题乍一看上去好像是简单的事情,结果却证明它非常复杂。当欧拉第一次听说它并对它产生兴趣时,他就着手证明它不可能有解。欧拉分析这问题的方法是把桥的地图变换成网络图。

一个网络基本上可以看成是一个问题的图样。哥尼斯堡七桥问题的网络可以图解:

网络是由一些线将一些点连接而成的。初看起来,后面的也许不像前面的,但是用数学术语的话,它们是完全等价的。这就是说,它们是拓扑等价的。

标明ABCD的点分别代表河的北南两岸(C和D)和两个岛(A和B)。线代表将A、B、C和D连接起来的路或桥。两座桥连接C和B,两座连接B和D,一座连接A和B,一座连接A和C,一座连接A和D。

欧拉把一个点或结点描述为“奇”的或“偶”的。如果出自一个结点的线的数目是奇数,这个结点就是奇的,如果线的数目是偶数,这结点就是偶的。欧拉不仅研究了哥尼斯堡桥,还研究了许多别的网络,结果证明:

要走完一条路线而其中每一段行程只许经过一次,只有当奇结点数是0或2时才是可能的。在所有其他情况下,如果不走回头路,就不能历遍整个网络。

他还发现:如果有两个奇结点,那么经过整个路线的行程必须从一个奇结点开始,到另一个奇结点为止。

哥尼斯堡难题终于有了一个证明。A、B、C和D四个结点都是奇结点,所以根据欧拉规则,没有一条路能解决原先的问题。

空间连线

乍一看这个问题似乎是不可能解决的。将其中的八个点连起来是很简单的,而连九个点则是在藐视逻辑。

如果你还没有发现如何解决这个问题,可能是因为你碰到了概念上的困扰。我们常常将自己限制在一小部分可能解决问题的方法中。

比如,许多人假定这个问题的答案是由垂直和水平的线组成的,这些线也一定是限制在九个点组成的正方形里面的,但这些限制中没有一条在问题的任何部分中提到过,对角线和超出想象的边界的线提供了一个解决问题的方向。

1.最标准的答案

2.最巧妙的答案

3.最调皮的答案

4.最奔放的答案

也许这里的每个答案都令你丧气——因为没有一个答案你想得出来。

让我们来看个明白,是什么让你无法解答这道题。在看到答案的一刻你会发现你无形中给自己加上了许多限制,而每一个答案都是在打破一种限制。

失踪的正方形

5个小块中最大的两块对换了一下位置之后,被那条对角线切开的每个小正方形都变得高比宽大了一点点。这意味着这个大正方形不再是严格的正方形。

它的高增加了,从而使得面积增加,所增加的面积恰好等于那个洞的面积。

火柴的游戏

第一个问题的答案,而第二个问题其实也很简单,不能以平面来思考,而应以立体图形来想才对。

只要将6根火柴搭成正三角锥体,即由4个全等三角形所围成、称为正四面体的立体图形。那么,就可获得这个问题的答案。

硬币十字架

这个问题只能这样解决:把一枚硬币从图形的“右臂”移到“左臂”,再把最下面的硬币移到中间那枚硬币的上面。

完美正方形

候车室的时间

甲报的时间是12点54分,其误差是2、3、4或5分钟。甲的误差不可能是2分钟,因为如果这样的话,丙的误差就至少是7分钟;甲的误差也不可能是3分钟,因为如果这样的话,丙的误差就至少是6分钟;所以甲的误差是4或5分钟,而且这种误差只能是比标准时间慢,否则其余每个人的误差都会不少于7分钟。

假设甲的误差是慢4分钟,这样准确时间是12点58分,由此可知丙的误差是快了5分钟,其余两人的误差分别是1和4分钟,这样就没有人的误差是2和3分钟,这和题中的条件相悖。

这样,只剩下一种可能性,即甲的误差是慢5分钟。这样准确时间是12点59分,乙、丙和丁的误差分别是2、4和3分钟。

百米冲刺

如果你的答案是“甲领先20米取胜”,那就错了。

甲和乙的速度之差是百分之十,乙和丙的速度之差也是百分之十,但以此得不出甲和丙的速度之差是百分之二十的结论。

如果三个人在一起比赛,当甲到达终点时,乙落后甲的距离是100米的百分之十,即10米,而丙落后乙的距离是90米的百分之十,即9米。因此,如果甲和丙比赛,甲将领先19米。

路碑

这个司机看到的路碑的读数是“14041”。因此,此期间,他的时速是:(14041-13931)÷2=55(公里)

这个司机看到的路碑的读数不可能大于“14141”,因为如果这样的话,他的时速就会超过100公里。

河的宽度

当两只船第一次相遇时,它们已行驶的距离之和正好等于河的宽度;当它们在返回途中第二次相遇时,已行驶的距离之和是河的宽度的3倍。又因为两只船的速度均保持不变,且用去的行驶时间相同,因此,当第二次相遇时,每只船实际已行驶的距离是它们第一次相遇时已行驶的距离的3倍。这样,当第二次相遇时,两船的行驶距离是720米×3,即2160米,题中的清楚地显示,这比河的宽度正好多出400米,因此,河的宽度是2160米减400米,即1760米。

题中的条件“靠岸后两只船都分别停靠了10分钟然后返回”的意义在于保证当第二次相遇时两只船已行驶的时间相同,至于条件中“10分钟”这个具体数字没有意义,就是说,也可以是5分钟、12分钟,等等。

步行的时间

老王在坐上夫人的车之前已经走了55分钟。

他们的车是提前10分钟到家的,这说明这天这辆车的实际行驶时间,比通常往返家和火车站所需时间少了10分钟,又因为车速不变,所以老王夫人从驾车离家到遇上老王所用的驾驶时间,比通常由家抵达火车站所需的时间少5分钟。通常她是五点到达火车站,因此,这天她是4:55遇上老王的。又因为老王是四点走出火车站的,所以老王共走了55分钟。