书城现实数学大帝
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第235章 刘维尔定理

安德烈·玛丽·安培对刘维尔的数学才华表示钦佩,对刘维尔说:“据说你发现了一种复变函数的一个定理。其内容可简单描述为一个有界的整函数必是常函数,貌似可以用统计学来解释。可以请教一下吗。”

刘维尔说:“物理图像是这样的,系综中每个系统的状态在相空间中是一点。”

安培说:“什么意思?”

刘维尔说:“一开始的时候,我们选取了相空间中的一个圆,其中圆中每一点都是一个系统的状态,之后我们追踪这个圆每一点的运动,会发现,随着时间的演化,这个圆在相空间中移动,可能会被拖曳成一个椭圆,会变成一条长长的线,但是总的面积是不变的,也就是说,被这些覆盖的面积不会变得更致密,也不会变得更稀疏。”

安培说:“为什么会有这种物理图像呢。”

刘维尔说:“因为相空间中某个范围的点可以看做一团流体,想象一滩水,在流动的时候,它的总体积总是不变的,只是形状改变。”

安培说:“而为什么将相空间中的点类比流体分子是合理恰当的呢?”

刘维尔说:“因为我们讨论这个定理的前提是:相空间中的密度分布不变,对应某个(p,q),该处的密度不随时间改变。最简单的情况,对每个(p,q)有相同的概率,这就像一杯均匀的水。”

安培说:“水的形状是可以变化的吧?”

刘维尔说:“但是你在搅动的时候,这杯水还是均匀的,只是你追踪原来某一小团水,这部分水中每一个水分子的位置都发生了改变,但是位置发生改变的同时,它的密度还是不变的,那一小团水占的体积永远是那么大。”

安培说:“听起来不错。”

刘维尔说:“不过这个定理有个前提:每个系统都被看做封闭系统,这个条件就对应于上面那段,相空间中的密度分布不变。”