书城现实数学大帝
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第245章 伽罗瓦群论

Chevalier对伽罗瓦说:“你确定要参加那个决斗吗?”

伽罗瓦没有回声,只是在一张纸上快速的做着运算。伽罗瓦看过阿贝尔的论文,认为阿贝尔只知道普通的五次方程不可解,但是具体的为什么不可解却不知道。同时也有的五次方程是可以解的,哪个可以解,哪个不可以解,伽罗瓦找到了一种新方法。

Chevalier认为伽罗瓦是一根筋,为了一个女人跟专业的杀手对决,根本不值。但是伽罗瓦一向就是这种性格,谁的话也听不进去。

伽罗瓦对Chevalier说:“你别管其他,之需要把我写好的稿子,给那些专家们看看。希望他们会理解,如果他们理解了,他们肯定会知道其中重要的价值。阿贝尔把自己的方程写的太难,他是用解方程的思想去直接推导的,才找到的矛盾,但是他那种方式没有找到本质。我这种才是真正的本质。”

对于伽罗瓦而言,自己惹上了麻烦。仔细想想,自己的一生最需要什么,他也不知道。心爱的女人?法国理想的秩序?优美的数学真理?伽罗瓦发现自己可能更喜欢的是数学优美的真理,那是一种纯粹的秩序,巧妙而神奇,远非人类能够全部轻易可以洞察到的。

“二、三、四次方程可以解出来,那是有一个内在的性质的。”

“是对称性,这种对称性在五次方程中没有。”

“而这种对称性,跟交换群的对称性,在数学上是一回事,两者是等价的。只是长的不一样罢了。只要我能够证明这两者是等价的,同时在五次的交换群里找到异常的地方,就可以了。”

“可什么是异常呢?”

伽罗瓦一边写着,一边一个劲的说,也不管Chevalier心里的那种对自己的担忧。

伽罗瓦在自己的草纸上把3、4次的交换群都画出来了。然后画出了第5次,发现第5交换群有问题。这个问题就是5次交换群没有正规子群。

“如果没有正规子群的话,就能说明五次方程是没有四则运算解的吗?”

伽罗瓦开始从域论和扩张域上来寻找答案。

第一:域的正规可分扩张定义为伽罗瓦扩张。

第二:若K/F为伽罗瓦扩张,K上的F-自同构的集合构成一个群,定义为伽罗瓦群,记为Gal(K/F)。

第三:对于H是Gal(K/F)的子群,称K中在H中任意元素作用下不动元的集合为H的不动域,这是一个中间域。

第四:对于伽罗瓦扩张,扩张的中间域和伽罗瓦群的子群有一一对应的关系。

第五:F?E?K形式的伽罗瓦扩张,E/F是正规扩张当且仅当Gal(K/E)是Gal(K/F)的正规子群。

第六:在特征为0的域上,多项式的根可用根式解当且仅当其分裂域扩张的伽罗瓦群是可解群。

广义上的伽罗瓦理论还包括尺规作图,诺特方程,循环扩张,库默尔理论等内容。

Chevalier此刻知道,就算伽罗瓦逃过那次决斗,也会被那个杀手追杀。自己能做的就只是帮伽罗瓦吧稿子给保存下来,然后投教给各个数学家。这就算是对伽罗瓦最大的帮忙了。

第二天,伽罗瓦倒在决斗的枪声中,嘴里还在念叨自己的理论。Chevalier按照伽罗瓦的要求,把他的文章发给了法国很多著名的数学家哪里。最终,刘维尔发现他的理论。

到后来,伽罗瓦的群论流芳百世,成为现代数学的基础学科。伽罗瓦的故事也被人传颂,因为太过于传奇了。

帕克特说,数学的魅力在于它是很有趣的学科。

或许数学本身就是吸引人的,没有任何理由。很多人喜欢数学,仅仅就是因为其中的东西本身就很有趣。这种有趣,最撩人的心,甚至让人不顾一切的为之奋斗。至于说为什么要为此而奋斗,难以说清理由,顶多只能说一句,这是好奇。伽罗瓦好奇的就是为什么五次方程不能解,仅此而已。