书城童书学生最想知道的未解之谜:走不出的数字迷宫
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第1章 数学的历史(1)

什么是数学

数学就像空气一样,无时不有,无处不在,谁都离不开它,但谁也不能直接看清它的面貌、它的影子。

我们观看精彩的体育比赛,比分牌记录着赛场风云的是数字,显示球员们位置的是他们背上的数字;我们乘车旅行,对号入座靠的是数字;考试卷上记载成绩的也是数字;每个人的年龄、身高、体重等都要用数字;市场里的商品,股市上的股票,更是离不开数字……总之,我们每天都要与数字打交道。

我们看到的日月星辰、高山大河、花草树木、鱼虫鸟兽;从庄严的天安门和雄伟的长城,一直到小小的文具盒、铅笔、橡皮等,世界上的一切事物,都有它们各自不同的形状。所以,科学家们发现,数量和形状是事物最基本的性质。恩格斯在谈到数学的时候,曾经指出:“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。”那么,什么是数学呢?可以说,数学是一门研究客观物质世界的数量关系和空间形式的科学。当然,数学所研究的数量和形状,它的含义比日常生活中所讲的含义要深广得多。它既是一门科学,也是人类活动的重要工具。

数的形成

数是“数(shǔ)”出来的。这句话确切地反映了数的概念产生的缘由。早期的人类大约也没有数(shǔ)的必要。从现在尚存在原始部落的语言中可以发现,他们甚至不具备表示“3”以上的数。美国人类学家柯尔对澳洲原始部落研究后发现,很少有人会辨别4个东西,无须数(shǔ)数的原因之一,大约是占有物的贫乏。另外,没有物的集合体的概念也是产生不出数(shǔ)活动的原因。例如,一些原始部落能区分出成百种不同的树木,并赋予它们各种不同的名称,却不存在“木”这一概括性概念。数是集合的一种性质,没有集合的概念,自然也就难以产生揭示其性质的活动。

大约在距今1万年之前,随着地球上冰水消融、气候变化,人类中的一部分开始结束散居的游牧生活,在大河流域定居起来,于是农业社会出现了。农民既靠地又靠天,因此他们十分关心日月的运行和季节的变化。此外,种植和贮藏、土地划分和食粮分配,以及随之而出现的贸易和赋税等,都潜在而又强烈地促使了数(shǔ)数的必要,为数的概念和记数方法的产生提供了坚实的物质基础。

数觉与等数性

正整数的产生是在有史以前。人类起先并没有数的概念,对于物质世界中的数量关系的认识,只有一些模糊的感觉,这种感觉,有人称之为“数觉”。已经证实,有些动物,如许多鸟类也具有“数觉”。由于人类能认识世界,改造世界,在长期实践过程中,形成了数的概念。

在远古时代,原始人为了谋生,最关心的问题是有或没有野兽、鱼或果实,有则可以饱餐一顿,无则只好饿肚子。因此,人类就有了“有”与“无”的认识。进一步认识“有”的结果,引出了“多”与“少”的概念。这就使人类对数量关系从孤立的认识提高到比较阶段。

在多与少的分辨中,认识“1”与多的区别又是必然而关键的一步。从孩提认识“1”的过程可以推测,人们最初对“1”的认识是由于人通常是用一只手拿一件物品产生的。也就是说,它是由一只手与一件物品之间的反复对应,在人的头脑中形成的一种认识。

建立物体集合之间的一一对应关系是数(shǔ)“数”活动的第一步。在这一活动中,不仅可以比较两个集合的元素之间的多或少,更主要的是可以发现相等关系,即所谓的等数性。

尽管集合与映射的概念直到19世纪才出现,但人们对集合间等数性的认识与一一对应思想却早已有之。因而,人们用所熟悉的东西来表示一个集合的数量特征。例如,数“2”与人体的两只手、两只脚、两只耳朵、两只眼睛等联系在一起。汉语中的“二”与“耳”同音,也即某一个集合中元素的个数与耳朵一样多,这就是利用了等数性。据说,古代印度人常用眼睛代表“2”。

在数的概念形成过程中,对等数性的认识是具有决定意义的一件事。它促使人们使用某种特定的方式利用等数性来反映集合元素的多少。

根据考古资料,远古时代,人们用来表示等数性的方法很多,例如,利用小石子、贝壳、果核、树枝等或者用打绳结或在兽骨和泥板上刻痕的方法。这种计算方法的痕迹至今仍在一些民族中保留着。有时候,为了不丢失这些计算工具,而把贝壳、果核等串在细绳或小棒上,这样记下来的并不是真正的、抽象的数,只是集合的一类性质——数量特征的形式转移。

除了实物计数,人们还利用自己的身体来计数,利用屈指来计数:表示一个物体伸一个指头,表示两个物体伸两个指头,如此下去。直到现在,南美洲的印第安人还是用手指与脚趾合在一起表示数“20”。屈指计数为五进制、十进制等记数制的产生提供可能,当这种可能变成事实时,数的概念连同有效的计数技术也就产生了。

等数性刻画了集合的基数。当人们利用屈指记数时,不自觉地从基数转入了序数。例如,要表示某一集合包含三件事物时,人们可以同时伸出三个手指,这时的手指表示基数。如果要计数,他们就依次屈回或伸出这些手指,这时手指起了序数的作用。

无论是实物计数还是屈指计数都不是最理想的计数方法。实物计数演变为算筹、算盘。屈指计数沿着两个方向发展。

一个方向是探求手指计数的更理想的发展。例如,新几内亚的锡比勒部族人,利用手指和身体的其他部位,可以一直计数到27。中国有一种手指计数法,最高可算到10万。即使在现代,除了小孩初学计数时仍用手指外,在证券交易所也有用手指计数的。然而随着数的语言、符号的产生、教育的普及,屈指计数的技术最终还是被淘汰了。

屈指计数发展的另一个方向是指计数和实物计数相结合,这个方向上创造出了进位制计数方法和完整的数的概念。

甲骨文上的十进制与八卦中的二进制

中国是十进制和二进制的故乡。中国数学在人类文化发展的初期,远远领先于巴比伦和埃及。

八卦

中国早在五六千年前,就有了数字符号。到三千多年前的商朝,刻在甲骨或陶器上的数字已十分常见。1899年从河南安阳发掘出来的龟甲和兽骨上所刻的象形文字(甲骨文)中载有许多数字记录,比如“八日辛亥允戈伐二于六百五十六人”。这说明当时已采用十进制的记数方法,而且有从一到百、千等的十三个记数单位。当时在运算过程中用的是算筹,算筹纵横布置,就可以表示任何一个自然数。据考证,至少在公元前8世纪到前5世纪,我国算筹已经完备,而印度是在公元876年才正式使用“0”这一符号。所以我国是名副其实的十进制的故乡。

中国的二进制源于八卦,记载于《易经》一书中。计算机的创始人莱布尼兹通过对《易经》的研究,认为《易经》图形表示从零开始到前64个数,所记录的就是二进制。这就是我国常说的太极生两仪,两仪生四象,四象生八卦……

结绳记事

结绳记事数学最初是从结绳记事开始的。从大约300万年前的原始时代起,人们通过劳动逐渐产生了数量的概念。他们学会了在捕获一头野兽后,用一块石子、一根木条来代表,或用绳打结的方法来记事、记数。这样在原始人眼里,一个绳结就代表一头野兽,两个结代表两头……或者一个大结代表一头大兽,一个小结代表一头小兽……数量的观念就是在这些过程中逐渐发展起来的。