书城童书学生最想知道的未解之谜:走不出的数字迷宫
8451600000011

第11章 数学万花筒(4)

把第二张纸条扭转180度与D点相接,B点与C点相接,粘成一个纸圈。现在又用毛笔来涂这个纸圈,你会发现,毛笔不用离开纸面就可以把它全部涂黑。这是怎么回事?原来这个纸圈只有一个面,真是不可思议!数学家称这个纸圈为“牟比乌斯带”,因为它是德国数学家牟比乌斯在1858年首次做出来的。请你再做一个牟比乌斯带,用剪刀沿虚线把它从中间剪开。你一定以为会得到两个纸圈吧。其实,大大出乎你的预料,你会得一个比原来长一倍窄一半,而且又是普通的有两面的纸圈了。

现在做最后一个最奇妙、也是最精彩的实验。把第四张纸条扭转360度,沿两条虚线把它剪开,剪出的不是三个分开的纸圈,而是三个一样大小,互相套在一起的纸圈!拓扑学就要研究这些纸圈,你说奇不奇?

我国数学的“世界之最”

我国不但是数学史最长的国家,而且在世界数学发展过程中占有重要的地位。我国在历史上的10项光辉成就,在世界数学史上享有崇高的荣誉,远远走在世界各国的前面。

位值制的最早使用,我国是十进制和二进制的故乡。甲骨文和金文就用十进制的记载,二进制则起源于《周易》中的八卦。

分数的最早使用,《九章算术》是世界上系统叙述分数的最早著作,比欧洲早约1400多年。

小数的最早使用,刘瑾在1300年左右于《律吕成书》中记录了世界上最早的小数表示法。

负数的最早使用,负数最早出现于我国《九章算术》和《方程》一章中。

勾股定理,国外也称毕达哥拉斯定理,但商高提出勾股定理比毕达哥拉斯早100多年。

圆周率的精确率,祖冲之使圆周率准确到小数点后7位,创立了当时世界最精确记录。

二项式系数法则的最早发现,早在11世纪,贾宪就已发现二项式系数的规律,并作出了一张图,称开方作法本源图。

最早的不定方程,真正最早提出不定方程的是我国的《九章算术》而不是丢番图。

增乘开方法,增乘开方术最早见于贾宪的著作,后经杨辉、秦九韶等人不断完善。

中国剩余定理,又称孙子定理,最早见于《孙子算经》一书中。

漫谈尺规作图三大难题

同学们一开始学习《平面几何学》,直尺和圆规就成了亲密伙伴,利用它们就可以作出各式各样的几何图形。

如果仅仅运用直尺和圆规,根据某些已知条件,求作一个几何图形,这就叫做尺规作图问题,也叫做几何作图问题。

几何作图问题,对发展学生的智力是有益的,在这一节里我们想通过古代尺规作图三大难题的故事,向读者介绍尺规作图的解决准则(或者称为判别法)。

古代尺规作图三大难题的故事

三等分角在上古时代,大约纪元前5世纪时,人们就提出,既然一个线段可以三等分,那么一个角能不能三等分呢?显然,所给的角要是90°,或者是180°,用尺规三等分是极为容易的。所谓三分角问题,就是说任意结定一个角,作图工具仅限于直尺和圆规,问能不能将这个角三等分。这是历史最为长久,流传最为广泛的一个几何作图问题。2000多年来,不断有人在这个题目上花费时间。如1936年8月18日《北京晨报》上曾经发表了一条消息说:郑州铁路站站长汪君,耗费了14年的精力,终于解决了三分角问题,并把作法寄住各国,颇引起国内外人士的注意。可是不久,就有许多人陆续地指出他的作法是错误的。1966年以前,中国科学院数学研究所每年都接到不少“解决三分角问题”的来稿,可是每稿都有错误,后来只好在《数学通报》上发表启事,让人们不要白白浪费时间去解这个不可解的几何作图题。三等分任意一个角是不可解的。这一事实早在100多年前,人们就清楚了。

第二个作图难题是倍立方问题。就是要求作一个立方体,使其体积等于已知立方体体积的两倍。关于这个问题的提出,曾经有过这样一个有趣的传说:远在纪元前4世纪的古希腊,瘟疫流行,到处死人,无法解除。有人便请教当时唯心主义的哲学家柏拉图。他便许愿说:“将续利亚神庙的立方体祭坛扩大一倍来祈求神的宽赦,这样,把神的怒气平下去,瘟疫也就消灭了。”因此,人们就将祭坛的各棱延长一倍,重新建造了这个祭坛。结果瘟疫照常流行。当再次请教柏拉图时,柏拉图看了新建的祭坛后说:“所造的新祭坛比原来的祭坛扩大了八倍,而不是一倍,所以不能解除瘟疫的流行。”人们为了解除灾难,便千方百计地想办法,如何造出一个新的祭坛,使它的体积恰好是原来的祭坛的两倍,这样就轰动了当时希腊的数学界,所以倍立方向题又以“续利亚神问题”相传。

传说未见得是真,但数学问题却是千真万确的,显然,从代数的观点来看,若设原立方体祭坛的棱长为a,新立方体祭坛的棱长为x,则倍立方问题即可表示为代数方程:

x3=2a3

不妨设a=1,则问题变为三次方程式x3=2的求解问题。显然,此方程的惟一正实根为x=32。因此,取定一个线段,把它看作“单位长”(即规定其长度为1),那么,只要我们能用直尺和圆规,作出一条线段之长为32,那就能作出一个两倍于单位立方体来。然而,这也是不可能的。

第三个尺规作图难题就是圆化方问题,即要求作一个正方形,使其面积等于一个已知圆的面积。设正方形的边长为x,圆的半径为r,则圆化方问题即可表示为代数方程:

x2=πr2

不妨设r=1,则圆化方问题变为x2=π的方程是否有正实根的问题,也就是依靠直尺和圆规作出一条线段,使它的长度等于π。由此可见,圆化方的问题和π值的计算问题是紧密联系在一起的。圆化方的问题虽然在古希腊数学史上出现得最早,但是,却没有有意识地去寻求π值的计算,在我国古代,对于π值的研究和计算,却有着光荣而悠久的历史。伟大的数学家祖冲之对π值的研究和计算有很大的贡献,远在公元460年,他就求出π的值是:

3.1415926<π<3.1415927

当时祖冲之为了便于人们使用,还确定出用两个比较精密的分数227作为约率;355113作为密率。这是祖冲之继我国古代另一位数学家刘徽的割圆术之后,对π值的计算工作的重要发展。它成为古代数学史上光辉的一页。当然,现在有了电子计算机,要算出π值的上千万位那是轻而易举的事,可是在公元5世纪,计算工具非常落后的情况下,祖冲之能算出这样准确的结果,需要付出何等艰巨的劳动啊!德国数学家奥托于公元1573年才获得这个近似数值,比祖冲之晚了1100多年。也就是说外国人直到公元16世纪,在π值的计算上,才超过祖冲之的研究成果。由此可以看出祖冲之这一光辉成就的世界意义,也可以看到我们伟大祖国古代的数学已经发展到相当高的水平。

关于圆化方问题,早在公元前古埃及的数学家曾得到这样一个结论:“如果正方形的边长等于圆的直径的89时,则它们的面积相等。”当然,在今天看来这个结论是错误的,但在远古时代能得到这样的近似值,还是令人惊奇的。这就是圆化方问题最早的研究成果。据传说,埃及人是用经验的方法得到这个结果的,埃及人是在囤和边长等于圆的直径的正方形上铺上一层种子,再分别计算这两个图形上种子的粒数。知道正方形上种子的粒数开始时一定比圆上的多,然后逐步缩短正方形的边长,并且重复这样的试验,最后得出结论:只有当正方形边长等于圆的直径的89时,正方形上种子的粒数才等于圆上种子的粒数。即通过这样试验的方法得到当正方形的边长等于圆的直径的89时,该二图形的面积相等,当然,这只是个精确度很差的近似等式。

从上述三个尺规作图难题的故事中,我们看到人们为了寻找这三个问题的答案,走过了多么艰难曲折的路程。用的时间是1000多年,花费的精力之大也是无法统计的。从而,我们想到:能不能给出一个解析判别法,根据已知条件判别一下,能解还是不能解,一看就知道,免得我们再遇到此类问题时走弯路,当然这是不成问题的。

每一个平面几何作图题,都可以放到坐标平面上来考虑,这只要在平面上引进坐标系就可以了。

平面几何作图题总是要求人们去作出一些线段,或者去定出一些点的位置,因为点的位置都可用坐标来确定,所以归根结底,作图题无非是要求人们去作出具有某种长度的线段,当然,每两个坐标点联结起来也就确定一条线段。因此又可以说,几何作图归根结底无非是要求定出某些坐标点。

在平面几何作图题里,总可以把一条已知线段(或给定的某一线段)当做“单位长线段”,就是说,把已知线段作为长度是l的线段,于是利用尺规作图,很容易将该线段n等分,从而求得长为1n的线段,再相比线段m倍,又可得到长为mn的线段。总之,一切以有理数为长度的线段都可以作出来,往下我们把点的坐标或线段长度都简称为“几何量”。

设r为任一正有理数,则以平方根r为长度的线段也可以作出来,事实上,利用1+r为直径作半圆,从线段连接点p引垂线交圆周于Q,则PQ=r。由此看来,一切以正有理数的平方根为长度的线段都可用尺规作出来。

反复利用上述手续,可见以4r、8r、…为长度的线段也都可以作出来。一般说来,只要是有理数经过有限多次“加、减、乘(乘方)、除、开平方”五则运算得出的数量,都可以用尺规作出以这些数量为长度的线段来。因此,这些数量就可以叫做“可作图几何量”,例如下面的数量:

(7+23+5)×35

这就是一个“可作图几何量”,因为人们总可以用尺规作出以这个数量为长度的线段来。若a、b、c表示已知线段,K表示自然数,下面一些简单式子所表示的部是“可作图几何量”:

(1)a+b;(2)a-b(a>b);(3)Ka;(4)aK;(5)abc;(6)ab;

(7)a2+b2;(8)a2-b2(a>b)

这些式子所表示的几何作图题,都是大家熟知的平面几何中的作图题。(1)、(2)是作两线段的和与差;(3)、(4)是作两线段的倍数和分量;(5)是作已知三线段的第四比例项;(6)是作两已知线段的比例个项;(7)是作直角三角形的斜边;(8)是作直角三角形的直角边。

柏拉图限制作图工具的意义

古代尺规作图三大难题所以难,就难在作图工具只能用直尺和圆规。如果作图工具不加限制,那么这三个问题都很容易解决。我们以最困难的圆化方问题为例,如图,设已知圆的半径为r,则它的面积为πr2。我们用泥土作一个正圆柱,使其下底与已知圆等积,高为r2,然后,让这个圆柱在平面上滚一周,在平面上就该出一个矩形。它的长为2πr,宽为r2,因为r2·2πr=πr2,所以,这个矩形的面积与圆的面积是相等的,从而,问题就变为求作一个正方形与此矩形具有相等的面积。这显然是容易办到的。

现在我们认为,这种限制没有必要了,作图时可以使用任何工具,只要作法正确就行,然而,如果古代希腊数学家柏拉图及其学派,不做这样限制,那么关于这三个难题的许许多多的讨论和研究也就不会发生,因而也许就不会导致数学里许许多多新的方法、新的领域的建立。可以这样说,希腊几何学家所发明的新定理和方法,差不多都是因为要解决这三个问题而引出来的。柏拉图及其学派作这种限制的历史意义,也就在于此了。

从笛卡儿创建《解析几何学》开始,到尺规作图解析判别法的获得,我们还可以看到:一般数学方法的获得,远比解决一个具体问题重要得多,正是由于用代数方程来研究几何问题的新方法的出现,尺规作图解析判别法才能产生,这就说明,我们在研究数学问题时,不仅要一个问题一个问题地去探讨,更要注意学习和研究处理数学问题的新方法,这也是学好数学的一条重要途径。