无理数就是不能表示为整数或两整数之比的实数，如2、π等等。这些数不像自然数或负数那样，可在实际生活中直接碰到，它是在数学计算中间接发现的。
人们发现的第一个无理数是2.据说，它的发现还曾掀起一场巨大的风波。古希腊毕达哥拉斯学派是一个研究数学、科学、哲学的团体，他们认为一切数都是整数或者整数之比。有一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（如果1：x=x：2那么x为1和2的比例中项），左思右想都想不出这个中项值。后来，他画一边长为1的正方形，设对角线为x，于是x2=12 12=2.他想，x代表正方形对角线长，而x2=2.他想，那么x必定不能是整数，那么x会不会是分数呢？毕达哥拉斯和他的学生们绞尽脑汁也找不到这个数。
这样，如果x既不是整数又不是分数，它是什么样的数呢？希帕索斯等人认为这必定是一个新数。这一发现，使得毕达哥拉斯等学派的观点动摇了，从而导致了西方数学史上的第一次“数学危机”。而希帕索斯本人因违背了毕达哥拉斯学派的观点而受到处罚，被扔到大海里淹死了。
无理数的发现，使数的概念又扩大了一步。