数的由来
数在一个人的生活中扮演着十分重要的角色，也是最基本的数学概念之一。我们每一个人几乎每一天都要与数打交道。难以想象，离开了数，人的生活会有多么不方便。因此，对于生活在我们这个时代的人来说，数是最初必须认识的概念之一。人从咿呀学语的时候就要开始学着识数，逐渐认识数的概念。如此简明而重要的数码及数码系统是人类经历了漫长的岁月摸索、总结后发明的。那么，在遥远的古代，情况又是怎样的呢？
2000多年前的古希腊盲诗人荷马在其著名的史诗《伊利亚特》和《奥德赛》中记载了一个故事：当俄底修斯刺瞎独眼巨人波吕斐摩斯以后，这位不幸的盲目老人波吕斐摩斯每天坐在山洞口照料他的羊群，清晨母羊外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子中捡起一颗石子。晚上母羊返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子，当他把早晨捡到的石子扔光时，他就确信所有的母羊全都返回了山洞。
南美洲古代有一个印加帝国，建立于11世纪。15世纪全盛时期其领土包括现代的玻利维亚、厄瓜多尔、秘鲁以及阿根廷、哥伦比亚和智利的部分领土。16世纪西班牙殖民者初到南美洲时，发现印加人那时还没有一个数学记数系统或一种语言书写法，但他们用结绳的办法，管理着他们长达3200千米的帝国。结绳法是利用一种10进位的系统在绳子上打结。一根横着的绳子上系着一些纵的绳子，在纵的绳子上打结，横着的绳子上最远的一个纵绳上的一个结代表1，次远的纵绳上一个结代表10，如此等等。在一根纵绳上没有结便意味着零。结的尺寸、颜色和形状则记录有关庄稼、产量、租金、人口及其他资料和信息。例如，黄色的绳子可用于表示黄金或玉米；又如，在一根表示人口的结绳上，头一套代表男人，第二套代表女人，第三套代表小孩。武器诸如矛、箭、弓等也有着类似的约定。在没有书写记录的年代，结绳法也负担了记载历史的作用。这些历史的结绳，由一些聪明人担任，他们过世了则转给下一代，就像讲故事那样，一代一代地留传下来。
在我们中国，人们对数的认识也经历了漫长的过程。最先人们只能数出一个人、两个人、一只羊、两只羊。有的原始部落不久前还只能数到5，5以上就称为多。当人们用一个数字，比如说5，即可以表示5个人，又可以表示5只羊或别的什么东西的时候，才初步完成了数概念的抽象。
古代人甚至我们现代人，在进行口头计数时，都往往做出一些手势。我们中国人在用手指表示1、2、3、4、5这5个数字时，习惯上会先握拳，然后会一个一个手指伸开。在第二次世界大战期间有一个有趣的故事：在印度和日本两国爆发战争时，一个日本姑娘正在印度。为了避免可能会遇到的麻烦，她的朋友把她假充中国人介绍到侨居在印度的英国人赫德利那里。这位英国人有点怀疑，要求这个姑娘用手指依次表示1、2、3、4、5，她踌躇了一下以后，便做了。这时，赫德利先生大笑起来，得意地说：“怎么样！你看见了吧？你看见她是怎么做的？先伸开她的手，然后一个一个地蜷上。你看见中国人这么做吗？没有！中国人和英国人一样，在数数时先把手蜷拢。她不是中国人。”由此可见，许多民族都有用手指计数的习惯。
通过以上一些例子，我们可以看出，形成数字的思维过程是利用了一一对应的数学原理。现行的小学课本、幼儿读物上对数的认识就是按照数的最初的形成与抽象过程编写的，这也符合人的认识的发展过程。但是，“一一对应”的概念我们是到了高中时才会接触到。因此。一个抽象的数学概念的产生一般需要很长时间，需要认识上的铺垫。很多时候，人们在不知道这一原理（或概念）时却已经用它了，这正是一个概念在形成之前的一个酝酿过程，数字的产生也经历了这样一个过程。
记数制是怎样形成的
什么是记数制
记数制或记数法，就是记录或表示数目的方法，主要指数字符号的表现形式以及计数工具的使用。
人与人之间进行交流的最重要的手段就是使用语言和文字。数字和数码是语言和文字的一个部分。因此，数字和数码是随着人类发明语言和文字而逐渐形成的，甚至在文字产生以前，人类已经形成了数的概念。一般情况下，数字和数码不同，数字是一个文字系统里表示数的词（数词），如汉语里的一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万、零等符号可以表示出任意的数词。在不同的语言中这些数词的读法和写法都是不同的。因此，数字是用来表示数的简便记号，是最古老、最原始用以记数的文字表示法。数码是表示数的特殊记号，用特殊的记号表示数是为了记录和运算方便。在古代一般不同地区表示数码的符号和相应的规则都有所不同，而在有些地区数字和数码是一致的。现代则统一用国际通用的印度-阿拉伯数码。
q进制记数制
随着人类社会和经济生活的发展，逐步需要去表示很大的一些数，用有限的符号去表示无限的数，光有有限的符号是不够的，还需要建立记数用的法则——记数制，这就是数码和数字的形成所需要的一个规则，其思想是用尽可能少的符号和尽可能简单的约定将所有的自然数表示出来，人们想到的比较多的是用进位的方法，以q个不同的符号（数码）表示的q个数组成一个新的单位，用一个新的符号或者是前q个符号的适当组合表示这个新单位，q个新单位又组成一个更高的单位，这叫q进制。q叫做进位的基。现在数学中通用的印度-阿拉伯数码的基数为10，即由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个符号组成的十进位制记数法。任何一个数a都可以表示为a=an10n+an-110n-1+…+a110+a0的形式，其中an、an-1、…、a1、a0可以在0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数码中取值（an≠0）。这里还有一个很重要的概念，就是位置的思想。在记数法中，位置概念是指数码符号不仅有其本意表示的数码大小，还要依靠他所在的位置决定该数目的确切数值。例如印度-阿拉伯数码121，右边的数码1表示1，中间的2因在十位上而表示20，左边同样一个数码1因在百位上就表示100。每位数码之间用加法组合，整个数目表示“一百二十一”。又如罗马数码Ⅳ，右边的Ⅴ表示5，左边的Ⅰ表示-1，数码之间也用加法组合，整个数目表示4。一个数码表示什么数值，要看它在什么位置上，这就是“位置”的含义。
人类都用哪些数作过进位基数
目前记数使用的印度-阿拉伯数码采用十进位值制原理，即“逢十进一，退一当十”，人们习以为常。但在历史上曾使用过许多非10的基数，如2、5、6、12、16、20、60等，用以刻画一昼夜时间的十二进制，量角的六十进制，至今还在使用。为什么选择这些数做基数呢？人们做过许多猜测。因为每种记数制度的形成经历了漫长的时间，而且当时谁也没有记录下来这样一件事。从古到今的许多数学家和哲学家都思考过这个问题。对于十进制比较多的认为是因为每个人都有10个手指。和十进制有关的还有五进制和二十进制。一只手是5个手指，一个人的手指和脚趾个数合计20。五进制以罗马数字为代表，大写字母Ⅴ代表5，实际是一只手掌的象征（四指合并，大拇指分开），字母Ⅹ代表10，是两个Ⅴ合起来构成。二十进制以玛雅人的记数法为代表。玛雅人是中美洲印地安人的一个部族，从公元一二千年就居住在现今墨西哥东部的一些地区。玛雅地处热带，人们喜欢赤脚，记数时手指数不够用就用脚趾，因此发展成二十进制是很自然的。
二进制记数法、计算机、莱布尼兹和《易经》
特别值得一提的，还有二进制，这是基数最小的一种记数法。按照我们现代最习惯的十进制要用到10个数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，而二进制只要用0、1两个数码就可以表示任何数。不过写起来很冗长，如十进制中的92要写成1011100，所以使用起来很不方便。日常生活和数学计算中还是用十进制而不是二进制，但对于电子计算机来说却是另一种情况，二进制有无可比拟的优越性，因此被广泛采用。
二进制被用在了电子计算机中有两个原因：首先是容易实现，在电子计算机中若使用r进制就要求元件具有r种稳定的物理状态，用r个数码来表示，如果r>；2，这是困难的。二进制只要求元件有2种不同的稳定状态，正好可以表示一对互相对立的状态，这不但容易办到而且可靠性高。如开关的“通”、“断”等都可以实现。其次是运算简单，加法和乘法表都是最简单的。
二进制虽然简单，但是到目前为止还没有发现有哪一个民族（或地区）专门用二进制进行日常计数。二进制的历史，常常和数学家莱布尼兹（1646—1716年）的名字联系在一起。他虽然不是最早的发明者，但在他的大力阐述和提倡下，确实引起了人们的关注。在他之前，已有好几个人使用了二进制，不过不为当时人所知。莱布尼兹大概未见到前人的论述，所以一直以为是自己的创造。
数学家莱布尼兹
莱布尼兹发明二进制的时间，大约是在1672—1676年。1679年3月15日，莱布尼兹写了题为“二进位算术”的论文。文中对二进制进行了相当充分的讨论，并与十进制进行了比较：
001121031141005101611071118100091001……
21101012210110…29111013011110311111132100000……
641000000……801010000……961100000……
莱布尼兹还给出了将二进制改写成十进制的法则：
1011000（二进制）写成十进制数就是
26+0+24+23+0+0+0
=64+16+8
=88
另外，莱布尼兹不仅完整地解决了二进制的表示问题，而且给出了正确的二进制加法和乘法法则。例如，他计算了以下这类实例：
102
+1015
1117
1015
×113
101
101
111115
1689年，莱布尼兹在罗马认识了意大利耶稣会会士闵明我（1639—1712年），从他那里了解到中国的许多情况。以后莱布尼兹将他的二进制算术和中国古代圣哲的思想联系起来。
16、17世纪时，正是欧州基督教各国传教士大批东来之时，他们在近代早期中西科学文化交流当中，起到了特殊而重要的作用。法国传教士白晋（又作白进，1656—1730年）受法国国王路易十四的派遣于1685年3月离开欧洲，1688年初抵达北京。白晋曾为康熙帝讲授数学。白晋在华期间，与法国科学院的科学家保持着通信联系。还与莱布尼兹频繁通信，讨论了《易经》中的二进制问题，引起了莱布尼兹的极大兴趣。他们讨论二进制的信件曾刊登在欧洲的科学刊物上，引起了欧洲科学界关注。
1701年，莱布尼兹将自己的二进制数表给了白晋，同时又将自己关于二进制的论文送交巴黎科学院，但要求暂不发表。同年11月白晋把宋代邵雍（1011—1077年）的伏羲六十四卦次序和伏羲六十四方位两个图给了莱布尼兹。莱布尼兹对白晋提供的材料欣慰异常。发现中国古老的易图可以解释成0～63的二进制数表。
莱布尼兹因为从二进制数学理解了六十四卦图（邵雍的六十四卦圆图）董光壁。易学的数学结构。上海人民出版社，1987，第57页。而高兴地说：“几千年来不能很好被理解的奥秘由我理解了，应该让我加入中国籍吧！”1703年，他将修改补充的论文《关于仅用0与1两个记号的二进制的算术的说明，并附其应用以及据此解释古代中国伏羲图的探讨》再送巴黎科学院，要求公开发表。至此二进制公之于众了。
上述事实表明了莱布尼兹并不是受易图的启发而发明二进制的，而是他发现了易图结构可以用二进制数字予以解释。应该说，莱布尼兹的二进制数学能被用来理解古老的中国文化。这一点，使莱布尼兹更加坚信自己的二进制数学的正确性，促进了他将自己的论文很快公开发表。自他发现了二者之间的这种关系后，在世界范围内兴起了对易学的数理研究，使人们对易学的兴趣日增。
莱布尼兹所进行的计算机设计、程序自动化、程序设计的思想，再加上二进制，为计算机的现代发展奠定了坚实的基础。
尽管莱布尼兹本人为计算机的设计、二进制的发明感到自豪，但他却没有将二进制用于计算机，没有使二者结合起来。在当时条件下，一个二进制的机器只会增加技术上的困难。只有随着电子技术的发展，人们才能将二者有效地结合起来。那种认为莱布尼兹是为研制计算机而引进二进制的说法是违背历史事实的。
古代人怎样记数
现在我们已经知道了记数需要符号和进位的基数，那么自然就会想到在记数制还没有统一之前不同的民族和不同的地区会有不同的记数法。这些不同表现在数码的不同和进位基数以及是否是位值制的不同上。古代人的记数方法有多种，我们在这里介绍几种。
埃及象形文字记数法
古埃及有4种文字，最古老的是象形文字，大约在公元前3000年就已形成。象形文字记数法进位的基数是10，但不是位值制。因此采用简单累加制，即书面上的数是各个符号所代表的数之和。1就是竖着的一短划，10像拱门，100是一卷绳，1000像荷花，10000是一个指头。有时向左弯，有时向右弯，100000有好几种写法，有时像蝌蚪或鱼，有时像小鸟。如：
这种记数法每一个较高的单位（10的乘幂）都要创设一个新符号，记数时有多少单位就要重复多少次，上下左右书写均可，但符号毕竟是有限的，记太大的数就有困难了。
罗马记数制
这是5进的记数制，也不是位值制。12世纪以前盛行于欧洲，现在在某些场合下还在使用，如书本的卷数、章节的序号、正文前的页码等。用拉丁大写字母表示数目（有时也用小写）：
Ⅰ1Ⅱ2Ⅲ3Ⅳ4Ⅴ5Ⅵ6Ⅶ7Ⅷ8Ⅸ9Ⅹ10
Ⅺ11Ⅻ12L50C100D500M1000
一个简单的数要写成长长的一串，如4855=MMMMDCCCLV，从左到右书写，单位按从大到小排列。但如果较小单位写在较大单位之左，要用“减法原则”，如：Ⅳ=4=5-1，Ⅸ=9=10-1，Ⅵ=6=5+1等。
罗马记数法是相当笨拙的，这使得算术四则运算非常复杂。
巴比伦楔形文字记数制