不管新的几何与人们的直观和常识多么不一致，但是从逻辑上人们还是接受了它，接受了这个新的几何。因为在3位数学家中，罗巴切夫斯基最先公布了他的研究成果，所以称这种新的几何为非欧几何或罗巴切夫斯基几何（简称罗氏几何）。
数学家高斯
关于非欧几何，与3位数学家还有这样一段故事。
高斯较早地就有了存在一种不同于欧氏几何的几何的思想，在这种几何中，第五公设是不成立的。他对此又进行了研究，最初称之为反欧几里得几何，后称星空几何，最后称非欧几里得几何，他相信它在逻辑上是无矛盾的。但他却不愿发表这方面的研究成果，他在给朋友的信中说：“我害怕在我发表自己的全部意见时，引起标丁人的嚷嚷”（标丁人是指愚蠢的人，这里借指反对他的人），高斯的顾虑主要是怕发表非欧几里中许多“怪诞”的结论引起别人的反对，而有损于他的权威。
鲍耶于1823年写成了关于他用所有内容，你儿子采取的思路、方法以及所达到的结果，和我在30—35年前的开始的一部分工作完全相同，我真的被这些结果吓住了……”吴文俊主编。世界著名数学家传记。科学出版社，868页。。
数学家罗切巴夫斯基
罗巴切夫斯基实际上是在1826年就发表了有关非欧几何（他当时称之为虚几何学）的文章，当时未能引起人们的重视，但这个时间被后人认为是非欧几何的诞生的时间。他又分别于1829、1835和1840年等发表文章或出版书，介绍自己的论点和成果。直到1855年，他已双目失明，仍然口授完成了《泛几何学》一书。
从非欧几何的发现过程中，我们看到，罗巴切夫斯基和鲍耶首先发表自称为非欧几何的文章，比高斯表现出了更大的勇气，而这种勇气无论是进行科学研究还是做任何别的事情都是非常需要的。
两个互相否定的命题决定了两种不同的几何学
如前面介绍的那样，欧氏几何是在∑+的基础上得到的几何体系，而罗氏几何则是在∑+的基础上得到的，所以它们有一部分公理是相同的。当然，在欧几里得公理体系的完善过程中，∑已经不仅仅是原来的九个命题，而是又补充了一些新的公理，但它们都是作为两种几何的公共部分的。
第五公设的内容实际上是叙述平行问题的，因此，人们也称其为平行公理，并习惯用下面与它等价的命题来代替它：
在平面内，过已知直线外的一个已知点，至多可以作一条直线与已知直线不相交。
它的否命题我们也不难写出来：
在平面内，过已知直线外的一个已知点，至少有两条直线与已知直线不相交。
这就是罗氏平行公理，因此，实际上是两个不同的平行公理决定了两种不同的几何——欧氏几何和罗氏几何。它们的公共部分被称为绝对几何。
两种几何就像是一棵大树上的两个并生的支叉（如图4-3），它们吸收着同样的养分，长得一样茂盛。
关子三角形的内角和
“三角形内角和等于180°”，这是我们脱口就出的一个最图4-3熟悉的定理，而证明它的主要依据是欧氏平行公理，教科书上是这样证明的：
把△ABC的BC边延长至D，作CE∥BA，因为∠A=∠ACE，∠B=∠ECD，所以，∠A+∠B+∠ACB=∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°
在证明的过程中。“CE∥BA，且∠A=∠ACE，∠B=∠ECD”是关键的一步，而这正是由平行公理所保证的。因此，应该说“三角形内角和等于180°”只是在欧氏几何里成立的结论。那么在罗氏几何里情况如何呢？
为了搞清楚这个问题，我们不借助平行公理，也就是在绝对几何的基础上来探讨三角形的内角和。
命题：三角形三个内角之和小于或等于π。
证明：用α、β、γ顺次表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C，
假设α+β+γ>；π，我们去寻找矛盾。
延长AB并依次取B1、B2、B3、…，Bn-1，使AB=BB1=B1B2=…=Bn-2Bn-1，作△BB1C1，△B1B2，C2…，△Bn-2Bn-1Cn-1，使它们都与△ABC全等（请读者想一想，如何做出这些全等三角形），设δ=π-α-β，∠CBC1=∠C1B1C2=……=∠Cn-2Bn-2Cn-1=δ
则有△CBC1、△C1B1C2、…、△Cn-2Bn-2Cn-1都是全等三角形，
故CC1=C1C2=…=Cn-2Cn-1=t，
∵γ>；π-α-β而δ=π-α-β，
∴γ>；δ，
在△ABC和△C1BC中，AC=C1B，BC=BC，γ>；δ，
所以有AB>；CC1，即c>；t，∴c-t>；0，又∵ACC1C2…Cn-2Cn-1Bn-1是连接A和Bn-1两点之间的折线，而ABB1…Bn-1是直线段，
∴AC+CC1+C1C2+…+Cn-2Cn-1+Cn-1Bn-1>；ABn-1，
∴b+（n-1）t+a>；nc，
即n（c-t）<a+b-t，
∵a+b>；t（两边之和大于第三边），
∴a+b-t>；0，
令m=c-t，l=a+b-t，
∴m>；0，1>；0，
而n·m<l，（*）
上式中m、l都是定数，而n是可以任意的选取，也就是在AB的延长线上B1、B2、…、Bn-1的个数是没有限制的，如果m、l分别是两个线段的长，则由阿基米德公理可得，总有n·m>；l，
所以（*）式与阿基米德公理矛盾，
因此假设α+β+γ>；π不成立。
命题得到证明，也就是在绝对几何中，任意三角形的内角和小于或等于π。
如果在绝对几何的基础上，加上欧氏平行公理，就得到“三角形内角和为π”。若加上罗氏平行公理，则“三角形的内角和小于π”，所以三角形内角和是等于π还是小于π，成为欧氏几何和罗氏几何的又一根本分歧点。
黎曼几何
比较一下欧氏几何和罗氏几何的平行公理，你会发现这样一个问题，欧氏平行公理说的是过直线外一个已知点至多有一直线与已知直线不相交，而罗氏平行公理则说是至少有两条这样的直线与已知直线不相交，那么过已知直线外一点可不可以约定没有直线与已知直线不相交，做了这样的约定，情形会怎么样？
另外，关于三角形的内角和，也有类似的疑问，那就是，三角形内角和可不可以大于π？
数学家黎曼
德国数学家倍耳哈特·黎曼（1826—1866年）于1854年（也就是在罗氏几何正式公布于众之后28年）解开了这些疑问，
提出了既不是欧氏几何也不是罗氏几何的另一种新几何，人们称之为“黎曼几何”。在黎曼几何中，“任何两条直线必有唯一的交点”、“三角形内角和大于π”。当然，黎曼几何还有更多更深的含义和内容。黎曼几何的诞生，不仅丰富了几何学内容，而且也彻底更新了人们的几何观念。他把对三维空间的研究推广到了n维空间，并把这样的空间称作一个流形，关于黎曼几何更多的内容，在此我们暂时无需去了解了。
值得一提的是，黎曼只活了39岁，却对数学做出了无可估量的贡献，“在他短短的一生中，他把数学向前推进了几代人的时间。”解延年，尹斌庸。数学家传。湖南教育出版社，1987，4页。
在欧氏几何中构造非欧几何的模型
为了让读者直观地理解非欧几何以及欧氏几何与非欧氏几何的关系，下面分别在欧氏几何中构造罗氏几何和黎曼几何的模型。
罗氏几何的模型
在平面（欧氏平面）上划一条直线a，a将整个平面分成上、下两个半平面，把不包括这条直线在内的上半平面作为罗氏几何的平面，其上的欧氏点当作罗氏几何的点。
在直线a上任意取一点（注意此点已不是罗氏平面的点），以此点为圆心，以任意长为半径所做的半圆算作是罗氏几何中的直线。
有了如上的规定后，就可以对罗氏几何的诸条公理进行一一的验证，它们都是成立的。在此我们只验证其中的的几个：
①对于两个不同的点，恒有一条直线通过其中每一个点；
②对于两个不同的点，至多有一条直线通过其中的每一个点；
③（罗氏平行公理）过已知直线外一点，至少有两条直线与已知直线不相交。
对于公理①，我们有：
设A、B是罗氏平面上的任意两点，连A、B并作线段AB的垂直平分线，交直线a于O，则以O为圆心以OA（或OB）长为半径的半圆L就是罗氏平面上过AB两点的直线，由于交点O对于A、B两点来说是唯一的，因此同时也验证了公理②。
特别地，当A、B两点所连线段的垂直平分线与a没有交点时，此时过A、B的罗氏直线成为以无穷远点为圆心，以无穷大为半径的半圆如图4-8，实际已蜕化为欧氏意义下的直线的一部分（没有端点的射线）。
对于③，我们做如下的验证：
已知罗氏平面上的一条直线l以及l以外的一点p，可以做出两条直线s，t与l不相交。这里要注意的是欧氏直线a上的点不是罗氏平面上的点，故两个半圆相交于直线a上的点则视为相交于无穷远点，从而在有穷范围内永不相交。这里s、t是与l不相交的所有直线的界。
在罗氏平面上还可以做出无穷多条过p但与l不相交的直线，这样“至少”的含义就更明朗了，你也来试一试划几条过p点但与l不相交的直线。
在欧氏平面上建立如上的罗氏几何模型后，就建立起了两种几何之间的一种联系。如果罗氏几何中会出现矛盾命题的话，那么必然会通过这种联系转化到欧氏几何中来，从这个意义上讲，只要欧氏几何没有矛盾，那么罗氏几何也就没有矛盾，这样就为人们接受和相信罗氏几何提供了一定的保证。
黎曼几何的模型
在欧氏空间任取一个球面，球面上的欧氏点看成是黎氏点，并且将球的每一个直径的两个端点看成是同一个点，称之为对径点。
球面M上的大圆（过球心的平面与球相交的圆）看作是黎氏几何的直线，每个大圆上的对径点仍看成是同一个点。
这样，将大圆看成直线，对径点看作是同一个点的欧氏球面看成是黎氏平面（如图4-11）。
在这样的黎氏平面上，不难验证黎氏几何的公理。
在球面M上任取两点A、B，因为过球心O和A、B三点
的平面有且只有一个，所以过A、B的大圆也只有这一个，也就是说，过A、B两点的直线有且仅有一条。
球面上的任意两个球的大圆，都有两个交点，这两个交点是对径点，因此我们得到黎氏平行公理：
“任何两条直线必有唯一的交点。”
这样，就在欧氏空间中构造出了黎曼几何的模型。
通过模型的建立，我们看到了欧氏几何和非欧几何之间的对立统一关系，如果你想更多地了解它们及它们之间的关系，请你去翻阅其他有关的书籍，你一定会有很多的收获。
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