（1）一种论断看来好像是错了，但实际上是对的。
例如：“全体大于部分”，这是大家公认的一条公理，不会有人怀疑它。
但是，观察下面两个数列：
λ1：1，2，3，4，…，n，…
λ2：12，22，32，42，…，n2，…
两个数列中的数哪个多一些呢？我们有这样的结论：它们的元素个数一样多。
这个结论是正确的吗？因为λ2这个数列实际上是1、4、9、16…，所以λ2应该是λ1中的一部分，像2、3、5、6、7、8等许许多多的元素都没有包含在λ2中，根据前面的公理λ1的元素个数要比λ2的多得多，因此说“它们的元素个数一样多”肯定是错误的结论。但是，它确实是对的。为什么呢？因为λ1中拿出一个1，则λ2中就有一个12，λ1中有一个5，λ2中就有一个52，也就是说λ2中的元素个数不比λ1的少。反过来，显然λ1的元素个数也不比λ2的少，因此他们的个数是一样多的。
这种悖论产生的主要原因是在数学发展的过程中，由于一些新概念的产生，出现了与具有历史局限性的传统观念相违背或者说与常识相违背的现象。
前面提到的数列λ1和λ2，按照传统的观念λ2是λ1的一部分，如果用λn：1n，2n，3n，…，nn，…来代替λ2，那么λn更应是λ1中的一部分了，但是λ1和λn的元素实际上一样多。事实上“全体大于部分”这一公理是从有限的对象中抽象出来的，对于有无穷多个元素的集合就不适用了。这里出现的新概念就是无穷集合的基数。再看下面的例子：
因为BD=MN，所以将BD平移到MN，在BC上任取一点P，连AP与MN交点为P′，则P′与P相对应，再取一点Q连AQ交MN于Q′则有Q与Q′相对应，这样，只要BC上有一点，则一定能在MN上取相交的点与之对应。反过来，MN上的每一个点，也可按同样的方式找到BC上的一点与之对应。
因此，从点的个数来考虑，BD与BC是相等的，“部分”与“全体”的关系发生了变化。
以上是悖论的一种表现形式。
（2）一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了。
例如，传说古希腊有一个著名的飞毛腿名叫阿基里斯，可是有人却提出来说：阿基里斯永远也追不上世界上跑的最慢的东西——乌龟。理由是这样的：
假设乌龟在阿基里斯所处位置A处的前方B处，那么，阿基里斯要想追上乌龟，首先他得到达龟的出发点B，而这时候乌龟已经向前走了一段，到达B1处。于是阿基里斯又必须赶上这段路，当阿基里斯到达B1时，乌龟又向前走了一段到B2处，阿基里斯虽说越追越近，但他却与乌龟之间总存在着距离，所以阿基里斯永远也追不上乌龟。
上面的推理过程看上去是合理的，但推理结果却是违背客观事实的，我们不可能相信上面的结果，因为别说是飞毛脚，只要是正常人，追上乌龟都是不成问题的。
上面的悖论被称做芝诺（公元前475—前425年）悖论。芝诺悖论反映出当时人们对无限的认识还缺乏严密的逻辑基础。
（3）经过一系列的逻辑推理导致了互相矛盾的命题。
先讲这样一个故事：鳄鱼与孩子。
一条鳄鱼从母亲手里抢走了一个小孩。
鳄鱼说：我会不会吃掉你的孩子？答对了，我就把孩子不加伤害地还给你。
母亲说：呵，呵！你是要吃掉我的孩子的。
鳄鱼：唉……。我怎么办呢？如果我把孩子交给你，你就说错了。我应该吃掉他。
这时鳄鱼碰上了难题。如果它把孩子还给母亲，它又得吃掉他。
鳄鱼：好了，这样我就不把他交给你了。
母亲：可是你必须交给我。如果你吃了我的孩子，我就说对了，你就得把他交给我。
这下子鳄鱼真的被搞懵了，结果把孩子交给了母亲，母亲一把抱过孩子跑掉了。
鳄鱼想：真倒霉！要是他说我会交回给他孩子，我就可美餐一顿了。
我们仔细琢磨这段著名的悖论，就会发现这位母亲是多么机智。她对鳄鱼说的是：“你将会吃掉我的孩子。”无论鳄鱼怎么做，都必定与它的允诺相矛盾。如果它交回小孩，母亲就说错了，它就可以吃掉小孩。可如果它吃掉小孩，母亲就说对了，这就得让它把孩子无伤害地交出来。鳄鱼陷入了逻辑悖论之中，它无法从中摆脱出来而不违背它自己。
可以将上面的悖论形式概括为：
如果假设一个命题为真，则又能推出它是假的；如果承认它为假，却又能推出它是真的。
以上我们说明了悖论的含义及几种不同的形式，那么悖论与数学危机有何相关呢？下面让我们回到2000多年前的古希腊开始我们的话题。
“毕达哥拉斯悖论”与第一次数学危机
勾股定理是我们大家非常熟悉的定理，在西方常常被称为毕达哥拉斯定理。毕达哥拉斯学派是古希腊最古老的哲学学派之一，同时它在数学上也有很多贡献，最重要的贡献之一就是发现了直角三角形三边关系的毕氏定理，据说当时他们为庆祝这一伟大的发现，杀了100条牛来庆贺，所以毕氏定理又称为“百牛定理”。
毕达哥拉斯学派是一个唯心主义流派，他们认为“万物皆数”，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界。这种观点虽然没有错，但是他们对数与宇宙之间的关系的理解是狭隘的，他们认为宇宙的本质是数的和谐，具体地说，就是指宇宙的一切事物和现象都可以归结为整数与整数的比。毕达哥拉斯学派的成员深信自己的这种信念是正确的，并试图以“天体在运动时所发出的声音”的“和谐”来解释天体的运动。
但是，毕达哥拉斯学派的这一信条不幸由于其成员希帕索斯的一个发现而遭到毁灭性的打击。传说，在一次海上航行的过程中，希帕索斯发现，根据勾股定理，等腰直角三角形的直角边与斜边的长度之比不能表示成整数之比。显然，按照毕达哥拉斯学派的信念，这样的线段是不可能存在的。因此希帕索斯的发现被视为冒天下之大不韪，为此，希帕索斯被同伴们抛进大海。
实际上，希帕索斯的发现对我们来说并不陌生。设直角等腰三角形的直角边长为a，则斜边为a2+a2=2，假设2a：a=m：n（m，n均为整数且最大公约数为1），那么，m=2n
∴m2=2n2，∴m2为偶数
因此m为偶数，设m=2p
则4p2=2n2
∴n2=2p2，
因此，n也为偶数。
这样就与m、n互质相矛盾，因此等腰直角三角形的斜边与直角边之比不能表示成两个整数之比，我们称这样的两个线段为“不可公度”的线段。
“不可公度”线段的发现与原来的信念构成了矛盾，因而，在他们看来，“不可公度线段存在性”的证明就是一种悖论，人们称它为“毕达哥拉斯悖论”，因为所引起的矛盾是数学方面的矛盾，所以称之为“第一次数学危机”。
“危机”的产生，一方面暴露了人们对客观世界认识的片面性，另一方面也促进了数学的发展。数学家们意识到，直觉和经验不一定靠得住，而推理、证明才是可靠的。从此，希腊人开始从公理出发，经过逻辑推理，建立数学体系，欧氏几何公理体系正是这一伟大思想的产物。
“贝克莱悖论”与第二次数学危机
第二次数学危机发生在微积分建立的开始阶段。
我们知道，微积分的产生主要是由于实际的需要。归纳这些问题大致可以分为四类：
第一类是当物体移动的距离表示为时间的函数后，如何求出物体运动的瞬时速度和加速度；第二类是求曲线的切线；第三类是求函数的最大、最小值，这主要是出自计算炮弹的射程在什么样的发射角之下有最大值；第四类问题是求曲线的长（例如行星的移动距离）、曲线围成的面积、曲面所围成的体积等等。
对于上面这些实际问题的解决，促使微积分的产生。牛顿（1642—1727年）和莱布尼兹（1646—1716年）被公认为微积分的奠基者。微积分理论主要是建立在无穷小分析之上的，而无穷小分析的主要特点是“无穷小量”的自由应用。例如，早在15世纪就有人用无穷小分析的方法求出了圆的面积公式：
首先，利用无穷分割得出了无穷小三角形OAB（其中AB是无穷小量）。其次，由于AB是无穷小量，因此无穷小三角形OAB即被看成是一个直边三角形，同时也被看成是曲边三角形。当把它看成是直边三角形时，它的面积等于12LR，其中L是AB的长，R是圆的半径；又由于它是曲边三角形的，因此无穷多个曲边三角形合起来就是圆。从而圆的面积为S=∑L12LR=12∑LL=πR2。这样，我们就通过无穷小分析求得了圆的面积。
再如，在求非匀速运动物体速度时，利用无穷小分析的方法如下：
①截取一个时间间隔△t，设在△t时间间隔内物体通过的距离为△S；
②求出△S△t，显然，这就是物体在这一时间间隔内的平均速度；
③令△t=0，即可求出瞬时速度。
具体来说，对于自由落体运动，其下落距离S与时间t的关系为：S=12gt2，欲求t0时刻的速度υ0。
先给出一个时间增量△t，则
△S=12g（t0+△t）2-12gt20
=12gt20+gt0△t+12gt△t2-12gt20
=gt0△t+12g△t2
计算△S△t：△S△t=gt0△t+12g△t2△t=gt0+12g△t
令△t=0则υ0=gt0
所以，利用上述方法求得t0时刻的速度υ0为gt0。