卡当公式——三次方程的根式解法
塔尔塔利亚等人研究三次方程解的时候，另一位米兰的医生，业余数学家卡尔达诺（1501—1576年）也在研究三次方程的一般解法，只是还没有成功。当他得知塔尔塔利亚与菲奥尔公开竞赛获胜的消息后，便托人打听塔尔塔利亚的方法。1539年亲自写信讨教，并邀请塔尔塔利亚到米兰。“塔尔塔利亚到米兰后，卡尔达诺经过当面再三恳求并发誓对此保密，塔尔塔利亚才把他关于方程x3+px=q和x3+q=px的解法用一首25行诗告诉卡尔达诺。”同④，403页。后来，卡尔达诺仔细研究了塔尔塔利亚的解法，在此基础上又得到了各种类型三次方程的解法。他将各种公式放入《大术》一书中发表，补充了推导过程。由于三次方程的一般解法就是在卡尔达诺的《大术》中第一次公开发表的，因此就叫卡当公式，卡当是卡尔达诺英文拼法的汉译。
尽管在《大术》的“关于一个立方和未知量等于一个数”（相当于方程x3+px=q）中，卡尔达诺一开始就提到了前人的研究：“费罗约30年前发现了这一法则并传授给了菲奥尔，菲奥尔曾与也宣称发现了该法则的塔尔塔利亚公开竞赛。塔尔塔利亚在我的恳求下将方法告诉了我，但没有证明。借助它，我克服了很大困难找到了证明，现陈述如下……”由此可以看出，卡尔达诺一直关注着三次方程的研究，虽然他也提到了塔尔塔利亚，但是塔尔塔利亚还是很生气，就在他自己所写的书中强烈谴责了卡尔达诺。于是在数学史上流传着卡尔达诺骗取塔尔塔利亚研究成果一说。由于《大术》的影响，三次方程被称为“卡尔达诺公式”或“卡当公式”流传下来。
卡尔达诺公布的解法可简述如下：
例1．x3+mx=n的代数解法（用现代符号表述）。解：由于（a-b）2+3ab=a2+ab+b2
（a-b）3+3ab（b-a）=a3-b3
令a-b=x，3ab=m，a3-b3=n
就有x3+mx=n
于是令n=t-u（m3）3=t·u（1）（2）
则x=3t
由（1）、（2）式解出u、t
t=（n2）2+（m3）3+n2
u=（n2）2+（m3）3-n2
因此
x=3（n2）2+（m3）3+n2-3（n2）2+（m3）3-n2
对于一般三次方程似ax3+bx2+cx+d=0，只需要用x=y-b3a代入上式，就可以化为x3+mx=n型方程。因此，被认为他的方法具有一般性，找到了用系数表示根的精确值的方法。
四次方程的根式解
三次方程解出后不久，四次方程也被成功地解出。是由卡尔达诺的学生费拉里（1522—1562年）给出的。被卡尔达诺收录在《大术》中的。下面用现代符号表出其解法。
例2．方程x4+bx3+cx2+dx+e=0的代数解法。
解：x4+bx3+cx2+dx+e=0
移项，得x4+bx3=-cx2-dx-e
两边加上（12bx）2得
x4+bx3+（12bx）2=（12bx）2-cx2-dx-e
配方（x2+12bx）2=（14b2-c）x2-dx-e
再配方，两边再加上（x2+12bx）y+14y2得
（x2+12bx+12y）2=（14b2-c+y）x2+（12by-d）x+14y2-e*
要使右边为一完全平方数，必使右边关于x的二次三项式的判别式为0，即
（12by-d）2-4（14b2-c+y）（14y2-e）=0是关于y的一个三次方程，用卡尔达诺《大术》中的方法可以解出这个三次方程，设y0为其一根，代入*，两边开平方。取平方根得：x2+12bx+12y0=±（14b2+c+y0）x2+（12by0-d）x+14y20-e解这两个关于x的二次方程，便可得到原方程的两个根。
五次以上方程的根式解
二、三、四次方程的根式解问题解决之后，从16世纪以后的数学家们很自然地就要继续按照这个思路去解决更深一步的问题——五次以上的方程的根式解。
有许多大数学家都对此问题有过研究，像欧拉、拉格朗日、高斯等。其中高斯（1777—1855年）对于方程xn-1=0所作的结果对这个问题的解决具有重要意义。因为高斯证明了这个方程可用根式解，表明了某些高次方程能用根式解出。而在这之前五次方程的一般解，确切地说，用系数表示的根式解一直没有进展。数学家对此问题的研究持续了300多年，最终在19世纪才被彻底解决，而且这个问题的解决在数学史上具有特殊重要的意义，它使得过去以研究方程为主要内容的代数学成为具有更丰富内容和更广泛应用的学科。
（1）阿贝尔证明了高于四次的一般方程用根式求解的不可能性。
挪威的阿贝尔（1802—1829年）从小就显露出数学上的才能。由于出身贫寒，他从小并没有受到系统的教育，是他的作牧师的父亲对他进行了启蒙教育。13岁时进入家乡的一所教会学校。这所学校的一位数学老师发现并培养了阿贝尔这位数学天才，激发了他对学习数学的兴趣和愿望。在老师的帮助下，他很快学完了初等数学课程，又继续学习高等数学知识。特别是五次方程求解问题吸引了他，他自学了大数学家欧拉、拉格朗日和高斯的著作。高斯研究xn-1=0型方程的处理方程启发了他，就着手开始解决这一问题。这时他还是一个中学生，因此也走了些弯路。
后来，阿贝尔在一些教授的资助下进入家乡的大学学习。大学二年级时，他又重新开始研究五次方程可解性问题。这次他吸取上次的经验教训，从反面入手，终于成功。1824年，阿贝尔证明了五次或五次以上的代数方程不能用一般的根式求解的问题，写出了著名的论文《论代数方程——证明一般五次方程的不可解性》。从而结束了长达300多年的一般代数方程寻求根式通解的思维模式。这时他才22岁，他深知这一结果的重要性，于是决定自费出版，为了压缩开支，他把论文叙述得很简洁，只有6页。因此，许多学者读不懂，从而也没有得到任何一个外国数学家的重视。
数学家阿贝尔
1825年，大学毕业后，阿贝尔来到德国，并且认识了工程师克雷尔，克雷尔对他的研究事业给予了极大的帮助。在阿贝尔的建议下，克雷尔于1826年创办了著名的数学刊物《纯粹与应用数学杂志》，这份杂志的，其中有一篇关于一般五次方程不能用根式求解的证明。
1826年，阿贝尔又来到巴黎，认识了一些法国的著名数学家如勒让德、柯西等。后来他又回到柏林，但这时他得了肺结核病，也没有谋到教授职位。于是次年，阿贝尔回到家乡，仍然没有找到工作。此时，病魔也在不停地折磨他，他以坚强的毅力继续坚持数学研究，取得了许多重大成果。但是，疾病缠身的阿贝尔，这样一个有才能的天才数学家在27岁时就离开了人世。
（2）青年数学家伽罗瓦
阿贝尔证明了一般五次方程不能用根式解的问题，而高斯也证明二项方程xn-1=0的根式可解问题。于是高于四次的方程就可分为两类，一类可用根式解，一类不可用根式解。一个新的问题摆在了数学家面前，什么样的方程可用根式解？法国的年轻数学家伽罗瓦彻底解决了这个问题。
数学家伽罗瓦
伽罗瓦（1811—1832年），他只活了21岁。但在这短暂的岁月里，他对人类数学的发展做出了惊人的贡献。“他为19世纪数学家们提出的问题及任务，导致了公理方法的系统发展和代数基本结构的深入研究。因此，伽罗瓦是近代数学的创始人。”邓明立，伽罗瓦，吴文俊主编。世界著名数学家传记（上册）。科学出版社，1995，924页。
伽罗瓦出生在法国巴黎附近，他的母亲非常聪明而且有教养，是伽罗瓦的启蒙老师。因此，伽罗瓦从小受到良好的家庭教育。12岁时开始接受正规教育。在这里的学习使伽罗瓦对数学产生了浓厚的兴趣。他直接阅读了大量数学大师们的著作，为自己打下了坚实的数学基础。但也由于他偏科，导致了他在1828年报考巴黎综合工科学校失败。第二年，伽罗瓦又报考了巴黎综合工科学校，但由于他拒绝采用主考官建议的解答方式，又没有被录取。后来，他又报考了巴黎高等师范学院，被录取。
还是在17岁的时候，伽罗瓦就开始了研究方程理论。1830年，在他大学二年级时就发表了数学论文。但是由于参加政治斗争被学校除名，并两次入狱。在1832年，因爱情纠纷而卷入一场决斗。决斗的前一天，伽罗瓦给他的战友舍瓦列耶的信中，整理、概述了自己的数学著作，并对在这之前完成的一篇文章（1831年）《关于根式解方程的可解性条件》起草了一份较为详尽的说明。第二天清晨，他与对手决斗中中弹致伤。几天之后，这位未满21岁的天才数学家去世了。
伽罗瓦的数学贡献在思维上领先同时代的数学家，因此，在当时并没有得到充分的赏识和理解。当时的数学家由于认识上的不足，还没有看到这位青年对于数学的巨大贡献。1846年，也就是伽罗瓦去世后14年，他的文章部分被出版。又过了几年，人们才逐渐弄懂了伽罗瓦的数学理论，伽罗瓦和阿贝尔所研究创设的理论导致一门新的学科——近世代数的产生。由他们开创的群论深刻地改变了代数学的内容，使代数学由主要研究方程转向研究各种代数结构，并且使代数学开始向着更严密、更抽象的方向迈进。
另外，代数方程的可解性问题的彻底解决，同时也解决了古希腊时期提出的“几何三大问题”中的“三等分任意角”和“倍立方”问题。有关这一部分内容，我们将在本部分“几何三大作图问题”中叙述。
几何学上的革命
——几何与代数的统一
自从公元前3世纪世界上建立起完整的演绎体系以后，几何学得到了比较充分的发展，而且古典几何学一直都比较注重研究几何量之间的关系和几何量本身的性质。古典代数则一直只注意一些计算和定量的研究，它们之间具有比较明显的区别。
但是随着人们认识能力的提高，视野的扩大，数学已经越来越不能满足社会和生产的需要。例如，航海业的发展，向数学提出了如何精确测定经纬度的问题；造船业则要求描绘船体各部位的曲线，计算不同形状船体的面积和体积；显微镜与望远镜的发明，提出了研究透镜镜面形状的问题；随着火器的发明，抛物体运动的性质显得越来越重要了，它要求正确描述抛射体运动的轨迹，计算炮弹的射程，特别是开普勒发现行星沿椭圆轨道绕太阳运行，需要用数学方法确定行星的位置。所有以上这些问题都难以在常量数学的范围内解决，实践要求人们研究变动的量。
其次，到了16世纪末，韦达在代数中系统地使用了字母，从而使代数具有了一般性。它在提供广泛的方法论这方面，显然高出希腊人的几何方法。于是，从代数中寻求解决几何问题一般方法，进行定量研究，便成为数学发展的趋势。
有了以上所述的需要和趋势，数形结合的思想及变量观念在数学家或物理学家、天文学家的著作中渐渐产生了。于是几何与代数经历了1000多年的发展，在17世纪终于有了革命性的变化，解析几何产生了。
解析几何的创始人之一——费尔玛
关于费尔玛，在本书第一部分中已经介绍了许多，而且人们对费尔玛了解更多的是他在数论领域的贡献。而解析几何的创立，人们了解更多的是笛卡尔。实际上，费尔玛和笛卡尔几乎是同时独立地创立了这一学科。
在1630年，费尔玛写了《平面与立体轨迹引论》一书，但是直到他去世14年之后，在1679年才得以出版。这部著作是费尔玛在解析几何方面的代表作。
他在书的开头写到“人们都承认古人论述了轨迹……然而，如果我们没有误解的话，对于他们来说，轨迹的讨论并非易事。我们可以由下述事实断定这一点，他们尽管论述了大量轨迹，但几乎没有明确表述过一种通则，这在以后将会看到。因此我们以一种恰当而严谨的分析形式提出这一理论，来开展轨迹研究的一般领域。”费尔玛著，高嵘译。论解析几何。——李文林主编。数学珍宝。科学出版社，1998，514页。
因此可以看出，费尔玛致力于用严格的分析形式对轨迹问题进行一般性研究。他认为给轨迹一般表示只能依靠代数，因为在他之前古希腊的数学家已经从几何的角度论述了轨迹，但他们对轨迹没有给予充分而又一般的表示。在费尔玛生活的时代，代数符号已经比较系统地引入到了数学中，而且费尔玛非常熟悉前人的工作，所以他在着手解决轨迹的一般表示时，就毫不犹豫地选择了代数。他不仅使代数与几何结合起来，而且他开始用变量思想进行数学研究，这也是他创立解析几何的主要思想基础。
那么，什么是解析几何呢？解析几何是借助坐标系，用代数方法研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支，也叫坐标几何。
费尔玛对于解析几何的创立做了以下几点重要的贡献：
首先，费尔玛所用的一般方法就是坐标法，他把平面上的点和一对未知数联系起来，然后在点运动成线的思想下，把曲线用方程表示出来。这种以代数方程表示几何曲线的方法，是解析几何的精髓，费尔玛说：“只要在最后的方程里出现两个未知数，我们就得到一个轨迹，这两个量之一的末端描绘出一条直线或曲线。”同⑦，515页。
其次，费尔玛还研究了方程的次数与曲线形状的关系。他认为一个联系着未知数A和E的方程如果是一次的，就代表直线轨迹；如果是二次的，就代表圆锥曲线。例如，OA=BE就表示一个一次方程。在这里他采用了韦达的符号体系，辅音表示常数，元音表示未知数。因而，若换成现代形式则为ax=by（a、b为给定常数）。
费尔玛没有采用横坐标和纵坐标的名词，他所使用的坐标轴也没有标明方向。横纵坐标的名词是莱布尼兹首先开始用的，而现代形式的坐标系是牛顿首次采用的。
解析几何的另一个发明者——笛卡尔
笛卡尔出生在法国一个在当时社会很有地位的家庭里。在他出生的第二年，他的母亲去世了，给笛卡尔留下一笔遗产。据说，这笔遗产使得他不必在成年后为生计而从事自己不喜欢的工作，为他的科学研究提供了可靠的保障。
笛卡尔从小体弱多病，但他对周围的世界充满了好奇心，被父亲称为小哲学家。后来，他成为杰出的哲学家、数学家、生物学家和物理学家。
笛卡尔首先是一个哲学家，他写了许多哲学著作，许多书上都称笛卡尔是欧洲近代哲学的主要开拓者之一。因此，他在科学领域的贡献在科学史上有划时代的意义，为近代科学在欧洲的发展打下了良好的思想基础。笛卡尔的思想比较抽象，在这里主要介绍一下他的数学思想和解析几何。