书城现实数学大帝
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第294章 切比雪夫定理

俄罗斯的几个数学家切比雪夫、柯尔莫哥洛夫和马尔科夫在一起聊天。

柯尔莫哥洛夫说:“我们要让看着疲软的俄罗斯数学振兴起来呀。”

马尔科夫说:“我们的数学不错的呀,欧拉不是来过吗?”

柯尔莫哥洛夫说:“但人家始终认为自己是瑞士人。虽然很多贡献是在俄罗斯做出来的,但是也有人挑刺说这是瑞士人的骄傲,我们也难反驳。”

马尔科夫说:“那倒也是,人家毕竟也是约翰伯努利的弟子,算是法国一派。”

柯尔莫哥洛夫说:“我说的振兴,不是在一个领域的细节上小打小闹,而是要在一个领域上迅速建立我们该建立的东西。”

马尔科夫说:“代数、几何和微积分这些,我们选哪一个?”

柯尔莫哥洛夫说:“概率。”

马尔科夫说:“这个领域不是已经确定了,就是帕斯卡等人的那点东西?”

一直沉默的切比雪夫突然开口说:“貌似是定了,实际还有很多发展空间。我们确实可以在这个领域大展手脚。”

马尔科夫说:“比如,哪里可以展开拳脚?”

切比雪夫说:“还知道大数定律吧?”

柯尔莫哥洛夫说:“伯努利大数定律,实验数量足够大,就可以达到接近发生个概率值。”

切比雪夫说:“没错,我们可以根据这个,继续发展自己的新理论,保证是伯努利没有想到过的。”

马尔科夫说:“洗耳恭听啊!”

切比雪夫说:“我知道了一种不等式。”

说着,切比雪夫在一张纸上写上了切比雪夫不等式里面包含X事件发生概率的期望,发生概率的方差。一边写,一边解释这个公式的符号的含义。

马尔科夫说:“这个不等式有什么用呢?”

切比雪夫说:“任意一个数据集中,位于其平均数m个标准差范围内的比例(或部分)总是至少为1减去m平方分之一,其中m为大于1的任意正数。”

马尔科夫说:“然后呢?假如平均数m等于2呢。”

切比雪夫说:“所有数据中,至少有3/4(或75%)的数据位于平均数2个标准差范围内。”

马尔科夫说:“假如平均数m等于3呢。”

切比雪夫说:“所有数据中,至少有8/9(或88.9%)的数据位于平均数3个标准差范围内。”

马尔科夫说:“假如平均数m等于5呢。”

切比雪夫说:“所有数据中,至少有24/25(或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内。”

切比雪夫定理的这一推论,使我们关于算术平均值的法则有了理论根据.设测量某一物理量a,在条件不变的情况下重复测量n次,得到的结果X1,X2,…,Xn是不完全相同的,这些测量结果可看作是n个独立随机变量X1,X2,…,Xn的试验数值,并且有同一数学期望a。于是,按大数定理j可知,当n足够大时,下式成立,即a≈(x1+x2+x3+……)/n。