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第18章 概率的问题答案

赌徒的谬误

如果你回答是小于■,你就陷入了所谓“赌徒的谬误”之中。正确的回答是:

一只“公正”的骰子,无论被投掷多少次,也无论投掷的结果是哪一面朝上,在下一次投掷中6个面中每个面朝上的概率仍然都是■。一只骰子根本不会对它过去被投掷的结果有任何的记忆!

三枚硬币

打这个赌是不太明智的。

为了弄清3枚硬币落地时情况完全相同或不完全相同的可能性,我们必须首先列出3枚硬币落地时的所有可能的式样。总共有8种式样。

每种式样出现的可能性都与其他式样相同。注意只有两种式样是3枚硬币情况完全相同。这意味着3枚硬币情况完全相同的可能性是。3枚硬币落地时情况不完全相同的式样有6种。因此其可能性是。

从长远的观点看,他每扔4次硬币就会赢3次。他赢的3次,你总共要付给他15元,你赢的那一次,他付给你10元。这样每扔4次硬币,对方就获利5元——如果他们反复打这个赌,就有相当可观的赢利。

彩票的概率

这两者的概率是相等的。但心理学家研究发现,40%的人愿意一次性取出10张,哪怕给他50次机会每取一张后放回。

国王的法律

国王的这个法律不会有效果。按照统计的规律,全部妇女所生的头胎孩子趋向于男孩女孩各占半数。

男孩的母亲们不能再有孩子。女孩的母亲们可以接着有她们的第二胎孩子,但仍然一半是男孩一半是女孩。

下一轮,男孩的母亲们退出生育的队伍,留下其他的母亲,她们可以有第三胎孩子。

在每一轮生育中,女孩的数目总是趋向与男孩的数目相等,因此男孩与女孩的比例是永远也不会改变的。

比例是保持不变的。既然在任何一轮的生育中,男孩与女孩的比例都是一比一,那么当你把各轮生育的结果全部加起来以后,比例始终保持着一比一。

当然,在这一过程进行的同时,女孩们会成长起来,并且成为新的母亲,但是上面的论证同样也适用于她们。

墨菲定律

我们把袜子编上号:A1、A2、B1、B2、C1、C2、D1、D2、E1、E2。

如果掉的袜子正好是1双,留下4双袜子,那么就应该有5种可能。而如果掉的不是一双,只有3双能用,这种情况共有40种可能。可见最坏的情况是最好的8倍。

翻老K

让我们把这6张牌用1到6这些数字编号,并且假定5号牌和6号牌就是那两张老K。

现在,我们列出从6张牌中取出2张的所有不同组合。总共有15种这样的组合:

1—22—33—44—55—6

1—32—43—54—6

1—42—53—6

1—52—6

1—6

注意,在这15对牌中有9对包含老K(5号牌和6号牌)。既然每对牌出现的可能性全都一样,这就意味着,从长远来说,你每进行15次尝试就有9次至少翻出一张老K。换句话说,至少翻出一张老K的可能性是■,这个分数可化简为■。这当然优于■,因此本题的答案是:你至少翻出一张老K的可能性比一张老K也翻不出来的可能性更大。

答案看起来如此轻松,你已经可以给自己加点难度了。

你翻开两张牌,发现这两张牌都是老K的可能性有多大呢?

在上面15种组合中,只有一种组合含有两张老K,所以答案是■。

女孩的概率

你可能会这样认为,因为男孩女孩概率相同,所以另一个孩子也是女孩的概率是■。

但是你错了。这对夫妇的两个孩子的性别有四种可能的情况:男—男,男—女,女—男,女—女。其中只有一种情况是两个孩子都是女孩。而他们告诉你一个孩子是女孩,所以另一个孩子是女孩的概率应该是■。

这是条件概率的一个例子。条件概率指在一个事件发生的情况下发生另一事件的概率。结果往往是意料之外的,也往往令人难以理解。

生日巧合

只要一个班级里有23个孩子,他们中间有两个人生日相同,那么机会就超过50%。怎么会是这样的呢?要搞清楚这事,你必须知道,为了计算两个“独立”事件同时发生的概率,你应把两个事件的概率相乘。例如,抛掷一枚硬币得两次正面的机会是■×■=■。一个孩子的生日与另一个孩子的生日是互相独立的。这意味着你可以用与抛掷硬币相同的方法,把概率相乘,来计算生日巧合的机会。

首先设想班级里只有两个孩子。第二个孩子的生日与第一个不同的机会是多少?有364个另外的日期可供选择,所以这两个孩子有不同生日的概率是■。现在另一个新孩子进入教室,那么新孩子的生日又不同的机会是■,接着进来的生日又不同的机会是■,……以此类推。第23个孩子的生日与其他每人都不同的机会是■。我们再来计算23个孩子的生日各个不同的总概率:

23个人的教室中没有一个人与任何别人生日相同的概率为■×■×……■=0.49

因此在23人的班级中,没有两个人生日相同的机会是49%,即大约一半。换言之,对仅仅23个孩子来说,至少有一个生日巧合情况的机会是51%。这个结果在许多人看来不见得正确,然而它是真实的。

谁运气好

假设两个硬币的正面分别为A、B,对应的反面为a、b。当两个硬币抛向空中落地后可能出现的情况和概率为:

A、B——两个都是正面,概率为■

a、b——两个都是反面,概率为■

a、B与A、b——一个正面,一个反面,概率为■+■=■

因此,一正一反的情况出现的可能性是其他两种的2倍。

两个骰子

每一个骰子抛出后各面朝上的概率相等,都是■,即出现1至6的概率皆为■。但当两个骰子的点相加时,其情况如表:

从表中很容易看出:出现7的概率最大,为■即■。出现其他数的概率分别为:2是■;3是■;4是■;5是■;6是■;8是■;9是■;10是■;11是■;12是■。

可以看出:越是靠近两个骰子最大点和最小点之和的平均数(7),出现的概率就越大。

杨辉三角

弹子通过6~10层每一通道的可能情况如下:

15101051

1615201561

172135352171

18285670562881

193684126126843691