柯瓦列夫斯卡娅本是俄罗斯的女贵族，但为了追求学业，跟自己的学医的丈夫来了一次假结婚。然后去了德国，师从魏尔斯特拉斯。
1847年柯瓦列夫斯卡娅定理发现了柯西一柯瓦列夫斯卡娅定理。
这是偏微分方程理论中第一个普遍性的解存在定理.
索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅的第一项工作属于偏微分方程领域。
这些方程牵涉到一个多变量函数。
这种函数的一个偏导数就是这个函数关于某一自变量的变化率。
由于在应用中总是出现多变量函数，这就导致应用中总是出现偏微分方程，即包含偏导数的方程。
原因是关于一个函数最容易获得的信息往往涉及到函数关于某些变量的变化率和这些变化率之间的关系。
正是由于这个原因，偏微分方程被看成是纯数学与应用数学的基本领域。
在《关于偏微分方程的理论》一文中，索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅证明了，在某种条件下一类给定的偏微分方程有且仅有一解。
法国科学家柯西在1842年已经提出这个问题，并且给出了一个解答，但是1873年至1874年间，无论是魏尔斯特拉斯教授还是索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅都不知道他的工作。
实际上，直到1875年法国人达布发表了一篇与索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅的结果类似的论文时，数学家们还没有普遍知道柯西关于这个问题的工作。
在一场以魏尔斯特拉斯代表索菲娅为一方，埃尔米特代表达布为另一方所进行的确保优先权的争论中，柯西的解答才得以发现。
索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅的结论及简明扼要的表述赢得了专家们的称赞。
柯瓦列夫斯卡娅还曾经考察了热传导方程，发现了某些偏微分方程即使有“形式幂极数”解，也没有分析解。
柯西—柯瓦列夫斯卡娅定理对于偏微分方程论是基本的，它是偏微分方程方面所有未来研究的起点。
当代俄国数学家奥莱尼克对此曾表示同意，并且说：“柯瓦列夫斯卡娅的工作标志着偏微分方程一般理论的发展的开端。”