11.1波函数
众所周知，经典力学中的质点作为宏观物体的抽象，它的力学状态，无非是用它的全部物理量（如位置、动员、能量等）及其随时间的变化来表征。对体系物理量进行测量或理论计算的结果都表明，质点在完全相同的条件下，在任意时刻，标志其物理性质的全部物理量都取完全确定的值。随着时间的变化，这些值也将随之发生连续性变化（包括不变量）。在经典力学中，只要用轨道函数r=r(t)（以及初始条件），就可以描述状态。这就意味着，由它出发，可以预言出质点的全部力学量及其随时间的变化。
在量子力学中，同样要用物理量来表征体系的物理性质。采用的物理量基本上是熟知的经典物理量，当然还有经典中所没有的物理量，如自旋等。同样为了能够定量地描述量子体系的状态，应该要求用来描述状态的函数能够预言出量子体系所有力学量的取值情况及随时间的变化。然而，在量子现象中，力学量的取值情况与经典体系截然不同。第一，力学量可以取不确定值（确定值是其特例），并且取每个值都对应一定的几率，但其平均值是确定的。第二，体系力学量取值可以是不连续的，即量子化的，当然也可以是连续的。第三，力学量随时间的变化同样可以是不连续的变化。由于体系力学量取值的不确定性，使得粒子在时空中的运动已不存在经典中的轨道，而只是对应着一种统计分布（即波动性的体现）。因而也就不能用轨道函数，而只能用可以体现力学量统计分布的波函数描述量子体系的状态。
这导致了作为量子力学基本原理的一个假定：
量子体系的任意状态，总可以用相应的波函数y加以完全地描述。
对于一个粒子的量子状态，可以用波函数y(r，t)加以完全地描述。它意味着：在时刻t，在空间r处发现该粒子的几率与成正比。
由上式可以得出“量子力学中的波函数相差一个常数因子时，所描述的状态是同一状态”的结论。因为波函数差一常数时，不会改变几率密度。这意味着粒子的位置几率是一种相对几率，并不代表绝对强度。这是量子力学中波函数与经典波函数的重要区别之一。由于y(r，t)通常为复函数，它不是一个物理量，其意义仅在于其模仿所反映的几率分布，因此又常被称为几率波。德布罗依彼（几率波）是一个物理概念，在数学上我们用一个以时间坐标t和空间坐标x，y，z为自变量描述的空间r处的函数学y(r，t)来描述它，这个函数就叫做波函数。
选用归一化波函数可带来许多方便，因此量子力学中常用的波函数一般都是归一化的波函数。
波函数是粒子量子态的描述，概率波的数学表达形式，描述微观客体的运动状态。当粒子处于某个波函数所描述的量子态时，它的力学量如坐标、动量等一般有许多可能值，这些可能值各自以一定的几率出现，这些几率都可以由波函数得出。波函数的物理意义就在于能对它描述的系统实施测量结果的几率分布做出预言。波函数中包含着一个或几个力学量实现其某些特定值潜在可能性的全部信息。在这个意义上，我们说波函数完全描述了量子系统。
10.2态叠加原理
经典波动理论中的叠加原理是解释光的干涉和衍射现象的基础。量子力学中，状态叠加原理则是解释微观粒子产生干涉和衍射现象的基础。
在电子衍射实验中，电子与品格碰撞前，可以用动量、能量为确定值的单色平面波描述。但在碰撞后已不能用确定的单色平面波描述，而只能用许多不同的单色平面波的叠加形式来描述，这就是状态叠加原理的一种特例。
状态叠加原理可表述为：
若量子体系具有多个互异的可能状态：则它们的线性组合，
也是该体系的一个可能的状态，其中为任意复常数。
以上叠加原理中各状态间差异为无穷小时，应用积分代替求和。叠加原理表述方法有多种，但都是等价的，这里仅取其一。
量子力学中的状态叠加原理比经典波动理论中的叠加原理所包含的物理内容要深刻、丰富得多。设量子体系处于用j1描述的状态，在该态测某一力学量L得确定值l1，若该体系处于j2描述的态时，测L得确定值l2。
当体系处在j描述的态，即叠加态时，测力学量L时就不再得到确定值。这时既可能得到l1，也可能得到l2，但不会出现其他值，且出现l1的几率和出现l2的几率是相对确定的。这就是说，状态叠加导致了观测结果的不确定性。假如体系仅由一个粒子构成，它处于（10.5）式的叠加态时，粒子究竟是处于态，还是处于态？肯定的回答是粒子既处在态，又处在态。
对于量子信息而言，由于微观世界中量子效应会明显地表现出来，所以用量子位储存信息，用量子态表示0和1（自旋向上或向下），量子位可以是0和1的叠加。经典比特状态的1和0必须由两个量子态|1>；和|0>；来取代，处于这样两种不同状态之上的粒子就是量子信息的基本存储单元——量子比特。如对于n位的量子存储器而言，它可以同时储存2n个数字，一旦使量子存储器同时储存不同的数字，便可把所有的数字即所有的态叠加起来，对其只进行一次操作，就相当于对经典计算机进行了2n次操作。与经典比特本质不同，一个量子比特可以处在|0>；和|1>；的相干叠加态上，即量子比特可以随机地存在于状态|0>；或|1>；上，且在每种状态上出现的概率p由复数系数a1，a2确定。这样的叠加态具有明显的量子相干特征，经典概率p不足以描述这个叠加态，a1和a2相对的位相在量子信息过程中，起着至关重要的作用。
10.3Hilbert空间
量子力学中体系的状态用波函数描述，尽管波函数的表达形式多种多样，以坐标为自变量、以时间为参变量的波函数仅是各种表达形式中的一种，然而各种形式的状态波函数都可以与Hilbert空间中的矢量相对应。在量子力学中，又将这种具体的Hilbert空间称为态矢量空间，因此，状态波函数亦称为态矢量。Hilbert空间的相应理论是量子力学中有力的数学工具之一。
由复平方可积函数的全集构成的复数域函数矢量空间称为Hilbert空间。
10.4薛定锷方程
在量子力学中粒子运动状态的变化规律，应该是和波动有关的一个新型方程，即薛定锷方程，应用这个方程，可由粒子的初始状态求得任意时刻的状态，得到波函数的具体形式。薛定锷方程是量子力学的基本方程，它不是从某些理论推导出来的，而是在德布罗意波概念启发下，归纳总结出来的，也是以假设的形式提出来的。
经典理论中，状态用轨道函数r=r(t)描述，而状态随时间的变化由牛顿方程：
给出，这就是经典体系中的因果关系。在量子体系中同样也存在着因果关系，即状态随时间变化应满足的运动方程。由于波函数的统计特征，因而也只能给出统计的因果关系。对单粒子体系而言，这一关系可表示为薛定锷方程。
这是量子力学中的一个基本原理，即所有量子体系的状态波函数均满足薛定锷方程。这一原理也称为薛定锷方程假定。这一原理揭示了微观领域中物质运动的规律，提供了定量地系统地处理一系列量子现象的理论基础。总之，量子体系的状态是用满足薛定锷方程的波函数来描述的。
薛定锷方程的物理含义是：在一定的势场中，求解粒子的分布，即波函数。量子力学找到微观粒子在不同条件下的波函数的方法，归结为求各种条件下薛定锷方程的解，势场相同，则粒子的分布状态相同，当粒子的空间分布缩变到一维无限深势阱时，粒子聚集在势能为零的一定宽度的势阱中。因此，势能函数相当于一个抽象的源，随着势能趋近于零或比较小时，势阱中往往分布有比较多的粒子。薛定锷方程的目的就是求解有势场约束的波函数。
10.4.1一维空间自由粒子的薛定锷方程
考虑在一维空间中运动的自由粒子：E=Ek动能。
10.4.2势场中运动的自由粒子的Schrodinger方程
对于薛定锷方程，还有许多需说明之处：
（1）薛定锷方程是量子力学的最基本的方程，是量子力学的一个基本原理；它是根据已知的波函数建立起来的，不是推导出来的；但将这个方程应用于分子、原子等微观体系所得的大量的结果都和实验相符合，这就说明了它的正确性。
（2）当时，薛定锷方程变成Dirac方程。
（3）薛定锷方程的解满足波函数的性质；因而在求解薛定锷方程时，还要加上一些条件：
①应该为有限值，y是可以归一化的。
②y应该是连续的。
③y应该为单值函数。
④薛定锷方程是关于时间的一阶偏微分方程，只要知道一个初始条件，就可以确定。
⑤对时间的一阶偏微分方程，如果有波动形式的解，在方程中就必须有虚数单位i，从而方程的解就必须为复数形式。
⑥解薛定锷方程的基本方法是分离变量法，将偏微分方程转化为常微分方程。
10.4.5定态薛定锷方程
量子力学认为，若粒子在势场中的势能只是坐标的函数，与时间无关，即不显含时间。
该方程称为定态薛定锷方程（Stationary Schrodinger Equation）。在方程中，E是能量本征值（Energy Eigenvalue），是本征函数（Energy Eigenfunction），定态薛定锷方程也称为本征方程（Energy EigenEquation）。
10.4.6聚类中的不显含时间的薛定锷方程
数据挖掘技术和量子力学是两个不同的领域，为了得到和数据挖掘技术匹配的定态薛定锷方程，即不显含时间的薛定锷方程，我们用代表，用V(x)代表U，得到下式：在上式中：y为波函数；H为Hamilton算子；V为势能函数；E为H算子的能量特征值；d为方程中唯一的一个参数。