量子信号处理（QSP）是信号处理领域最新的研究方向之一，首次提出这一概念和理论是在2001年，相关的工作主要是由MIT的Yonina C.Eldar和她的导师Alan V.Oppenheim来完成的。这一思想将量子力学的数学框架应用于信号处理领域，建立新的基于量子力学的算法并改造现有算法。这一思想和我们通常所说的量子计算（Quantum Computation）有较大的区别，通常我们所说的量子计算是利用物质实体的量子效应来完成相应的处理，这种方法要受到量子物理中的公理和约束所限制。而本书中所说的量子信号处理只是利用量子力学的数学框架和思想并依据量子力学中相应公理建立与之对应的处理算法，这种方法不会实质性的受到量子物理规律的限制，它的实现实体为普通的计算机系统，这一思想与遗传算法十分相似，是一种自然仿真算法框架。
量子力学（Quantum Mechanics）是一种反映自然规律的物理理论，经过了100多年的实践检验，解决了大量的物理问题。现在我们日常生活中使用的很多物品都离不开量子力学的贡献，量子力学真实地反映了自然的奥秘，因此量子力学的数学框架和思想是十分深刻的。信号作为自然界中客观存在的物理实体，它在物理上也是受到量子力学原理约束的，将量子力学的数学思想框架应用于信号处理领域也是非常自然的想法。
11.1量子系统
11.1.1Dirac符号
Dirac符号是由Dirac提出的，是在这一基础上，能够建立起量子力学规律的一种普遍的数学形式，它适用于一切量子体系。量子体系的各种状态，包括描述空间运动与非空间运动的状态在内，它们的某些性质可以是很不相同的。但是，各种状态都有一个共同的性质，即都满足状态叠加原理。可将状态称为态矢量，量子体系的一切可能状态构成一种态矢量空间，无限维态矢量空间具有Hilbert空间的性质。空间中所有的态矢，都用一个右矢|＞来表示，它的对偶态矢量空间，所有的态矢都用一个左矢<|来表示。
设基底为|n＞(1，2，3，…)，基底中的基矢是分立可数的，数目可以是有限或无限。由无限可数的抽象基底所生成的空间，就是一个抽象的Hilbert空间。
11.1.2量子测量
对量子系统中一个或多个粒子进行测量，将会把量子系统的状态投射到与测量值相对应的状态空间中去，同时也会对投射的幅度进行缩放，结果态矢的长度为1，测量结果出现的概率等于测量所用基的复数平方和。
量子测量是一个非线性映射，通常可以用一个测量矢量{mi，i×I}来描述。这一矢量张成一个子空间，其中I为索引集。量子力学要求mi必须正交。更一般情况的量子测量可用投影算符Py来描述：
我们定义，称为对的投影算符（Projection Operator）。将作用在任意右矢上，则：
按照投影算符的概念，可以看出，展开式的几何意义，就是对基矢组(n=1，2，3…)的投影。投影算符作用于，为将投影到方向上，全部作用的结果，得出在所有方向上的一组投影值(n=1，2，3…)。
11.1.3测量一致性
测量一致性是量子力学的一个基本假设，对一个处于定态的系统进行重复测量将产生相同的输出。因此系统状态在测量后应该保持不变，反复进行测量后系统最后的状态应该与第一次测量后的状态相同。
11.1.4量子化
测量输出的量子化是一致性要求的直接结果，一致性要求将导致测量后形成一种被称为定态的量子态，这些由测量得到的量子态由概率决定，这些态属于测量子空间Si。甚至当系统不处于定态时对系统进行测量后系统也会量子化到其中一个定态，也就是测量结果一定会是这些定态中的其中一个，而得到其中一个定态的概率可由系统量子态和这一定态的内积来决定。
11.1.5量子叠加原理
定态（Stationary State）在量子力学中被定义为如下的波函数：
处于定态下的粒子具有几个特征：（1）粒子空间的概率密度以及概率流密度j不随时间变化。（2）任何力学量的平均值不随时间变化。（3）任何力学量的测量概率分布不随时间变化。
由若干个能量不同本征态叠加所形成的态称为非定态（Nonstationary State）。
量子叠加原理是对“波的叠加性”与“波函数完全描述一个体系的量子态”两个概念的概括。非定态就是由许多本征态的某种相干叠加，而粒子可部分地处于其中的某一个态，这从经典物理的概念来看是无法理解的，但只有这种解释才能说明测量结果的不确定性，各个定态按一定概率在多次测量时都有可能得到。
一般来说，对一个量子态进行测量时，这一量子态就以相对概率an坍缩到某一定态，量子力学中把这种现象称为量子态坍缩（Collapse）。即在测量过程中叠加态坍缩到某一能量本征态。态的叠加导致叠加态下观测结果的不确定性，叠加原理是与测量密切联系在一起的一个基本原理。这一原理也是量子计算中很重要的一个原理，是实现量子并行计算的理论依据。
11.2QSP理论体系
11.2.1QSP的建立
Elder等人在她的博士论文中认为，量子信号处理主要是借鉴量子力学理论以及它的一些公理和约束形成的新算法或者改进已有的信号处理算法，它并不依靠真实量子物理体系来实现，这与量子计算和量子信息学的研究内容有本质的区别，可以认为QSP只是一种仿真的量子计算。她认为量子力学的理论体系与信号处理有三种内在联系：一是量子力学中的测量概念，二是量子测量一致性原理，三是测量输出的量子化原理。在进行算法设计时，QSP算法理论架构就对量子力学的本身理论架构进行了扩展并且突破了它的一些约束条件，进而拓宽了QSP的应用范围。
11.2.2QSP中的测量
QSP中对信号的测量对应于采用一种算法作用到信号上，采用QSP算法进行测量等效于对信号进行相应的处理或在不同的信号空间对信号进行表示。测量的输出则对应于算法的输出。
Hilbert空间中的一阶测量（Rank-one QSP measurement）M可定义为一个测量向量，它是Hilbert空间的一个子空间，由于QSP算法并不受量子力学中的物理定理的约束，因此这些向量并不保证要相互正交。Hilbert子空间的QSP测量定义为子空间上的一组投影操作符，由于我们不受实际物理定律的约束，所以投影算符和子空间Si不要求是正交的。对信号x的测量可用M(x)表示。
QSP中的测量一致性可用数学形式表示为M(M(x))=M(x)。根据我们的定义，假如x是Hilbert信号空间中的信号，那么M(x)也是Hilbert空间的信号，因此我们能够对它进行多次测量。
测量输出的量子化要求输出信号M(x)是这组信号中的一个，对应于量子力学中的定态，我们可以定义定态信号集，这一定态信号集属于某一个测量子空间。
一阶测量可以定义为一个测量向量集。它张成的子空间为H和定态信号集M之间的一个非线性映射。用Ei来表示一个Si上的投影，如果x是一个定态信号，那么M(x)=Eix=x，否则M(x)=Eix，其中。这里，fM是信号x到索引I之间的一个映射。
子空间测量则被定义为一个测量投影集。它张成的子空间为H和定态信号集M间的一个非线性映射。如果x是一个定态信号，那么M(x)=Eix=x，否则M(x)=Eix，其中。这里，fM是信号x到索引I之间的一个映射。
11.2.3QSP算法设计
基于QSP的信号处理算法可以采用以下几个步骤进行设计：
1.定义测量向量qi或测量算符Ei。
2.使测量向量属于H空间，并且如果被处理信号x不属于H空间，则通过变换Tx将信号映射到H空间。
3.对信号进行测量，假如x是定态信号，则测量输出y=M(x)=x，否则采用映射fM得到定态信号y。
4.如果需要，可将测量输出通过变换Ty映射为算法的输出。
11.3QSP的应用和扩展
QSP算法在信号处理领域可以得到广泛的应用，如匹配滤波、线性估计、CDMA多用户探测等。Elder等人在这方面做了大量的工作，奠定了QSP算法的基础。具体算法可参见她的一些论文。
11.3.1基于QSP的图像处理
数字图像作为信号处理的一个重要研究方向，曾建诚等人根据Elder提出的QSP算法框架对QSP在数字图像中的应用进行了研究，提出了量子图像Halftoning算法、量子边缘提取算法和量子图像密码技术。
这些算法的思想都是将图像的每一个像素x(m，n)转化为量子位（Qubit）：
即将每一个像素看做是i个定态的叠加态，而每一种定态可能出现的概率为ai，如在图像边缘提取算法中每一个像素都可能处于边缘和非边缘两种状态的叠加状态，这两种状态分别以不同的概率在测量中出现，归一化后。构造一个函数f(x)，由f(x)可得到各个ai的值，采用随机选择的方法对进行测量得到输出，通常为中的一个定态，他出现的几率为ai，所以在测量结果中ai越大的态出现的几率越大，并且在这一算法中，结果也可以为多个定态的叠加，其出现的概率为多个定态的ai之和，最后将得到的结果根据其映射关系在图像中标出，如某一像素测量输出为边缘态，则将它标注为边缘。这一算法的关键在于如何使我们希望得到的输出对应的态以最大的概率在测量结果中出现，也就是使它的ai值尽可能大。
11.3.2量子算法
QSP算法是基于量子力学建立的一种算法框架，但却并不受限于量子力学，比如它可以突破对向量正交性的要求。所以我们可以根据实际问题的需要对这一算法框架进行改进，这样可以拓宽QSP算法的应用范围，从QSP算法的结构我们可以看出这一算法的应用绝不仅仅是在信号处理上。从算法体系上看，它是一个通用的算法模型，现实中绝大多数算法都可以抽象成为由输入态通过相应的处理得到符合要求的输出这种模式。这一类算法模式在人工智能、数据挖掘、图像处理中有着广泛的应用，所以都可考虑用类QSP算法进行处理，可以将这一类算法叫做量子算法（Quantum algorithm）。采用量子算法的处理方法和QSP非常相似，首先将要求解的问题映射为量子态的叠加，然后对这一叠加态进行测量操作M(y)，最后将测量结果映射为所求问题的结果。为了得到我们希望的测量结果，我们在进行问题映射时即要求使我们希望得到的输出对应的概率幅ai越大越好。
这一算法的两个关键问题是：（1）如何将所求问题映射为量子态叠加的形式；（2）测量方法的设计。这两个问题是QSP和QA算法的研究核心。为拓展QSP和QA算法的应用能力，我们还可以定义作用在量子叠加态上的操作算符，这一算符作用在叠加态上的预期效果为：使我们希望的输出定态对应的概率幅ai变大，这样在进行测量时将以较大的概率被检测出来作为求解结果。而构造操作算符将是量子算法的研究重点。
11.3.3量子并行算法
由QSP的理论框架以及它的扩展算法QA算法我们可以看到，量子叠加原理在QSP理论体系中具有极为重要的作用，因此量子叠加原理在量子算法中也起着重要的作用，而量子态叠加是在量子计算机技术中利用的一个重要的量子现象，这一物理现象使量子计算机具有惊人的并行计算能力，一个量子位可以由许多可数定态叠加而成，作用于这个量子叠加态的操作相当于对这一量子位的n个叠加态同时进行操作，这一操作过程具有强大的并行效果。Elder等人提出的QSP算法正是对量子叠加这一现象的仿真，由于叠加原理在物理上具有天然的并行性，所以基于对量子系统进行仿真的量子算法也相应具有天然的并行性能，它为普通算法的并行化提供了一种新的途径和模式，即对映射到量子系统后的问题按量子态对任务进行划分，将不同的量子态分配到不同的处理器上进行相关操作，得到叠加的结果。这一并行化思想通过多个处理器仿真一个量子叠加态，对这一叠加态的各种操作同时在各个处理器上并行地执行，最后通过对各处理器进行测量，使叠加态坍缩到其中一个定态，从而得到相应叠加态的输出结果，而各定态在结果中出现的概率由各自an的大小决定。