思维的两难境地
法国社会心理学家托利得曾说：“测验一个人的智力是否属于上乘，只要看他脑子里能否同时容纳两种相反的思想，而无碍于其处世行事。”
托利得所说的“两种相反的思想”在博弈论中即为悖论。悖论广泛存在于社会生活中的方方面面，世间几乎不存在完美策略。
什么是悖论？
悖论，又叫逆论、反论，其含义非常丰富，从字面上看，指的是自相矛盾，讲不通、说不明的荒谬理论。本来可以相信的东西不能相信，而有的东西看起来不可信但反而是正确的。但悖论又并非无稽之谈，在看似荒诞的理论之中又蕴涵着深刻的哲理，给人以多方面的启迪。
悖论包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，有点像魔术中的变戏法，顺着它所指引的推理思路，开始你会觉得顺理成章，而后又会不知不觉地陷入到自相矛盾的泥潭，这就好比是走上了一条繁花似锦的羊肠小道。但经过人们精密的、创造性的思考，矛盾被揭破之后，这道悖论难题又令人回味无穷，给人带来全新的思维与观念。
悖论的表现形式通常有三种：
——一种论断看起来好像肯定是错误的，但实际上却是正确的；——一种论断看起来好像肯定是正确的，但实际上却是错误的；——一系列推理看起来好像无懈可击，但却导致逻辑上自相矛盾。比如：颁发一枚勋章，勋章上写着：禁止授勋！或者涂写一个告示，告示的内容是：不准涂写……随着现代数学、逻辑学、物理学和天文学的快速发展，涌现出了不少全新的悖论，它们极大地改变了我们的思维观念。
我们找到答案了
艾毕曼德悖论是逻辑悖论中最古老、最典型的例子之一，它是2500多年前由一个叫艾毕曼德的克里特人提出来的。
传说，古希腊的克里特岛上住着一个叫艾毕曼德的年轻人。他熟谙哲学和医学，是克里特岛上的先知。
艾毕曼德曾轻蔑地说过这样一句话“：所有的克里特人都是撒谎者。”寥寥数字却构成了一个让所有人都发懵的悖论。
艾毕曼德说的这句话究竟是真是假呢？如果他说的是真话，即全部克里特人都是撒谎者，那么作为克里特人的艾毕曼德的这句话就是假话。如果他说的这句话是假话，那就意味着并非所有的克里特人都是撒谎者，包括是克里特人的艾毕曼德，就是说艾毕曼德的这句话有可能是真的。
一句话怎么会既是谎话，同时又是真话呢？这种说法太矛盾了，谁也说不清了。
理性的决策要靠逻辑推理，理性的思考当然也不例外。悖论就是自相矛盾的说法，在现实生活中可能是不存在的，但却存在于逻辑领域中，主要用来挑战人类思考的协调一致性，以验证每个螺丝是否都配对了相应的螺帽。就如克尔凯郭尔所说的：“悖论是思想者热情的源泉，没有悖论的思想者就像没有感觉的爱人，是毫无价值的平庸之人。”
所谓逻辑的内部一致性，就是指不论用什么方法，都无法有效地证明两个论述处于绝对对立的情况。如果两个论述经过分析是互相矛盾的，那肯定不会同时为真，这就好比向空中抛一枚硬币，落地后，它一定不会发生正、反面同时出现的情况。当然，这里说的是一般情况，排除特技表演中的硬币的币脊“立”在地上的特殊情形。
著名物理学家爱因斯坦是量子力学理论的发现者之一，但后来他发觉量子力学不完善，就花费了很长时间试图找到一个悖论来证明量子力学不具备一致性。但爱因斯坦失败了，量子力学到今天仍然存在。至今，寻找这个悖论的问题仍然困扰着许多物理界的专家们，而那些声称不感困惑的肯定不是专家。
再回到艾毕曼德悖论。它一定就是一个让人无懈可击的不解之谜吗？难道真的没有跳出这个古典悖论的方法吗？答案是否定的。
跳出常人的思想和思维模式，离开惯常的知识结构来看待这个悖论，艾毕曼德是说了所有的克里特人都是撒谎者，但这只能说明这句话的发出者——艾毕曼德是个撒谎者，却不能代表所有的克里特人都是撒谎者。所以，这样一分析的话，结论就是艾毕曼德在说谎，他是一个彻头彻尾的撒谎者。
能够运用拓展性思维跳出这个令人头疼的悖论，确实值得表扬。但是如果我们将艾毕曼德悖论的描述稍微做一下修改：将原句的“所有的克里特人都是撒谎者。”换成“这句话是谎言，我这个克里特人是个骗子。”这样一变换，刚刚整理清晰的思路又模糊了，又绕回到原来的困境中了。因为这两句话有自我包容的特性，这也是艾毕曼德悖论的核心所在。这就解释了你为什么能跳出这一古典悖论——原艾毕曼德悖论设计得有点粗糙，使你钻了空子，但并没有影响其内涵的表达。
悖论读来有趣，也确实给许多人带来了快乐，但却常常令伟大的科学家们感到苦恼，因为他们要用极其严肃、认真的态度对待它。科学应该是以严密的逻辑推理为基础的，是真实可靠的，容不得任何自相矛盾的命题或结论。但悖论却破坏了这种严密性，说明它的一些概念和原理之中还存在着矛盾和不完善或者说不准确，有待于科学家们进一步探讨和解决。
一个与哲学相关的数学问题
圣彼德堡悖论是关于不确定性和无穷决策问题中最令人头痛的一个问题。科学家从实际出发，提出了诸多消解这一悖论的有益尝试，比如效用递减论、风险厌恶论、效用上限论和结果上限论等，但它们并没有最终解决这一问题。圣彼德堡悖论的理论模型不仅是一个概率模型，而且其本身就是一个统计的、近似的模型。当实际问题延伸至无穷大的时候，连这种近似也变得不可能了。
圣彼德堡悖论是瑞士数学家丹·贝努利于18世纪初提出的，它实际上是一个赌徒与庄家玩掷硬币的游戏。悖论点就出现在赌徒的期望收益无穷大与赌徒参加该赌局的预付赌金是一个常数之间。
游戏规则为：赌徒先预交一定数额的赌金，才能拥有参赌的资格。交完赌金之后，赌徒向空中抛掷一枚没有被做过手脚的硬币。
若第一次掷出反面，赌徒什么也得不到，赌局终止；若第一次掷出正面，庄家给赌徒2元奖金，且赌局继续，赌徒再次掷硬币。
若第二次掷出反面，赌徒就只得拿着第一次掷出正面所得的2元钱退出赌局，赌局结束；若第二次掷出正面，庄家给赌徒4（2×2=4）元奖金，赌局继续，赌徒接着掷第三次硬币。
若第三次掷出反面，赌徒拿着之前所得的4元钱退出赌局，赌局终止；若第三次掷出正面，庄家给赌徒8（2×2×2=8）元奖金，赌徒接着掷硬币。
……
如此类推，赌徒既可能运气不好第一次就掷出反面而退出赌局，也可能烧了高香，次次都掷出正面，看着奖金成倍成倍地滚进自己的腰包。问题是，赌徒最多肯付多少钱参加这个游戏？换句话说，就是庄家应将赌徒参加赌局的预付赌金设成多少元？
赌徒最多肯付的钱就是他对该游戏的期望值。那么，赌徒进行这个游戏的期望值是多少呢？答案是：无限大，赌徒肯付出无限量的金钱去参加这个游戏。即无论庄家将预付赌金设成多少元，赌徒都会觉得这个赌博始终对自己是有利的，哪怕倾家荡产也会投身其中。原因如下：
因硬币没有被做过手脚，所以硬币落地后，不是正面就是反面。即赌徒第一次掷出正面的可能性为1/2，获得2元奖金的可能性也为1/2。赌徒得4元奖金的条件是：第一次和第二次均掷出正面，即得4元奖金的可能性为1/4。赌徒得8元奖金的条件是：第一次、第二次和第三次均掷出正面，即得8元奖金的可能性为1/8……假设赌徒需交给庄家的预付赌金为X元，则赌徒参加这场赌局的期望收益为：2×1/2+4×1/4+8×1/8+……-X很显然，减号前面是一个无穷级数的和，就是说进行这样一个赌博的期望收益为无穷大，换言之，无论庄家提出的预付赌金为多高，赌徒在赌博与不赌博两个策略之间的合理选择都是前者，因为赌徒付给庄家的预付赌金是一个有限的数字，以一个有限大的付出博得一个无穷大的收益，当然是合算的。但实际上是这样的吗？
肯定不是，要真是这样的话，开设这种赌局的庄家早就应该破产了。这个游戏实际上就构成了一个悖论。
在实际对局中，根据概率，赌徒想通过一长串的连续掷出正面来赢得一大笔奖金的可能性是极为渺茫的，而失去预付赌金的可能性却是极高的，因此，在庄家提出的预付赌金的数额较高的情况下，赌徒选择参加赌博是不明智的、不合理的。
假设庄家提出的预付赌金为20元，那么赌徒损失18元的可能性为1/2，损失16元的可能性为3/4，损失12元的可能性为7/8，损失4元的可能性为15/16，而真正赢钱的可能性只有1/16。
圣彼德堡悖论给予我们的启示主要有两点：
——它揭示了人们思维系统自身的矛盾性和不完善性，劝诫我们在解决实际问题的时候，要高度重视决策理论的研究跟实践的关系，建立理论模型既源于实践又不同于实践的观念，而不要被理论模型蒙蔽了眼睛；——许多悖论问题可以归为数学问题，但同时也是思维科学和哲学问题，我们要多角度对其进行考虑。
贝努利通过对圣彼德堡悖论的分析指出，在风险和不确定条件下，个人的决策行为准则（参加赌博的结果）对于参与者的价值并非是获得最大期望金额值（赌博结果的金钱值），而是为了获得最大期望效用值（参与者对某一结果的主观向往度，即参与者对它的心理价值）。
人不能保证做出的任何一次决策都是理性的，考虑问题的出发点不同，其决策与判断就存在着不同程度的偏差。因为人在不确定条件下做出的决策，不是取决于客观的决策结果本身，而是依据决策结果与自己对此的心理期望的差距。换言之，就是人们在做出决策时，总是以自己的视角或参考标准来衡量，以此来决定采取何种决策。
逻辑的套索
逻辑这个外来词，其英文拼写是Logic。现代汉语词典对它的解释是：思维的规律。简单地说，逻辑就是把一堆混乱的、无序的、本不相干的事物按一定规律、一定规则组织排列到一起，建立一定的联系的过程。